Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

204 Solutions des problèmes
La dérivée de Fermi-Walker de v est donc orthogonale à u si v l’est. Par contre,
u · ∇u v = ∇u (u · v)
=0
−v · ∇u u = −a · v, (C.32)
=a
avec, dans le cas général, a · v = 0 (a et v sont deux vecteurs dans l’hyperplan normal
à u ; ils n’ont a priori pas de raison d’être orthogonaux entre eux). La dérivée covariante
∇u ne préserve donc pas l’orthogonalité par rapport à la ligne d’univers, contrairement
à la dérivée de Fermi-Walker.
7 On a, d’après (C.24),
1 d
c dτ (v · w) = ∇u(v · w) = ∇u v · w + v · ∇u w
= [ D FW
u v −(u · v) a + (a · v) u] · w + v · [ D
=0
FW
u w −(u · w) a + (a · w) u]
=0
= −(u · v) (a · w) + (a · v) (u · w) − (u · w) (a · v) + (a · w) (u · v)
= 0. (C.33)
Le produit scalaire v · w est donc constant le long de L .
8 ⊥u est clairement un opérateur linéaire. Il vérifie de plus
et, pour tout vecteur v orthogonal à u,
⊥u(u) = u + (u · u)
=−1
⊥u(v) = v + (u · v)
=0
u = 0, (C.34)
u = v. (C.35)
L’opérateur linéaire ⊥u se réduit donc à l’identité dans l’hyperplan normal à u et s’annule
dans la direction de u. Ces deux propriétés montrent qu’il s’agit du projecteur orthogonal
sur l’hyperplan normal à u (espace local de repos de l’observateur O). On a, pour tout
vecteur v,
⊥u(v) = v + (u · v) u = v α ∂α
+ (uβv β ) u α ∂α
= δ α β + u α β
uβ v ∂α, (C.36)
d’où
9 On a, pour tout vecteur v orthogonal à u,
D FW
u v = ∇u v + (u · v) a − (a · v) u
=0
⊥ α β = δ α β + u α uβ. (C.37)
= ∇u v − (∇u u · v) u = ∇u v − [∇u (u · v)
=0
−u · ∇u v] u
= ⊥u (∇u v) . (C.38)
En particulier, on retrouve la propriété de préservation de l’orthogonalité à u établie à la
question 6.