Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

On en déduit
C.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker 203
∇u ˜ f = u α ∇α ˜ f = 1
c
dX α
dτ
∂ ˜ f
. (C.23)
∂xα Or en dérivant la relation ˜ f(X 0 (τ), X 1 (τ), X 2 (τ), X 3 (τ)) = f(τ) par rapport à τ, on
obtient, à un facteur c près, le membre de droite de l’équation ci-dessus. D’où la relation
u α ∇α ˜ f = 1 df
. (C.24)
c dτ
3 On a
a · u = ∇u u · u = 1
2 ∇u(u · u) = 1
2 ∇u(−1) = 0. (C.25)
Le caractère unitaire de u assure donc l’orthogonalité de a et u.
Remarque : u étant un vecteur du genre temps, cela implique que a est du genre espace.
Si L est une géodésique de (E , g), alors la 4-vitesse est transportée parallèlement à
elle-même le long de L , autrement dit ∇u u = 0, c’est-à-dire a = 0.
4 On a
soit
a α = u ν ∇νu α = u ν
α ∂u
5 D’après les résultats (C.24) et (C.21),
si bien que (C.27) s’écrit
∂x ν + Γα µνu µ
, (C.26)
a α ν ∂uα
= u
∂xν + Γα µνu µ u ν . (C.27)
ν ∂uα 1
u =
∂xν c
du α
dτ
= 1
c 2
a α = 1
c2 2 α d X
dτ 2 + Γα dX
µν
µ
dτ
d2X α
, (C.28)
dτ 2
dXν
. (C.29)
dτ
En comparant avec l’équation des géodésiques paramétrées par le temps propre [Eq. (2.133)],
on retrouve le résultat de la question 3 : a = 0 ssi L est une géodésique.
6 On a, par définition,
D FW
=a
u u = ∇u u
+ (u · u)
=−1
a − (a · u)
=0
Soit v un vecteur orthogonal à u en tout point de L . On a alors
u · D FW
u v = u · [∇u v + (u · v) a − (a · v) u]
= u · ∇u v + (u · v) u · a
=0
u = 0. (C.30)
−(a · v) u · u
=−1
= ∇u (u · v) −v · ∇u u +a · v
=0
=a
= 0. (C.31)