Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

202 Solutions des problèmes
qui correspond effectivement au signe de −V . Au contraire, si le vol a lieu vers l’ouest,
| ˜ Vavion| < | ˜ Vsol| et ∆τavion − ∆τsol > 0, du même signe que −V dans ce cas.
9 Avec les valeurs données,
GM
c 2 R
h
R = 9.8 × 10−13 .
Par ailleurs, une latitude de 30◦ correspond à θ = 60◦ , et |V | = 830 km h −1 = 231 m s−1 ,
d’où
• pour le vol vers l’est : V = +231 m s−1 : − V
c2
V
+ RΩ sin θ = −1.3 × 10
2 −12 ;
• pour le vol vers l’ouest : V = −231 m s−1 : − V
c2
V
+ RΩ sin θ = 7.4 × 10
2 −13 .
Ainsi
• pour le vol vers l’est : ∆τavion − ∆τsol
= −3.5 × 10 −13 ;
∆τsol
• pour le vol vers l’ouest : ∆τavion − ∆τsol
= 1.7 × 10 −12 .
∆τsol
10 Pour estimer δτest et δτouest, il suffit de multiplier les valeurs relatives ci-dessus par
la durée totale du vol. Cette dernière est approximativement la même pour le vol vers
l’est que pour celui vers l’ouest et vaut
∆τsol ∆τavion
2πR sin θ
. (C.19)
|V |
L’application numérique donne ∆τsol = 1.5 × 10 5 s = 42 h. On en déduit
δτest = −52 ns et δτouest = 255 ns. (C.20)
En comparant avec les données de l’énoncé, on en tire deux conclusions :
• les résultats ci-dessus, basés des trajectoires très simplifiées des avions, sont en bon
accord avec les prédictions théoriques basées sur les trajectoires réelles, c’est-à-dire
utilisant l’Eq. (C.10) plutôt que l’équation approchée (C.12) ;
• compte tenu des barres d’erreur, l’effet Einstein (relativité générale) ainsi que la
dilatation des temps des corps en mouvement (relativité restreinte) sont pleinement
confirmés par ces expériences.
C.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker
1 On a, par définition [cf. Eq. (2.85)],
2 On a tout simplement
u α = 1
c
dXα . (C.21)
dτ
∇α ˜ f = ∂ ˜ f
. (C.22)
∂xα