Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

C.5 Expérience de Hafele & Keating 201
h étant l’altitude de l’avion et R le rayon de la Terre, on a toujours h/R ≪ 1. En se
limitant au premier ordre en h/R, la formule ci-dessus s’écrit alors
∆τavion − ∆τsol
∆τsol
=
GM
c 2 R
− RΩ sin θ
c 2
h V
(RΩ sin θ + V ) −
R c2
V
2
On peut simplifier le terme en facteur de h/R, en remarquant que
(RΩ) 2
c 2
GM
≪
c2R et
V RΩ
c 2
+ RΩ sin θ . (C.15)
GM
≪
c2 . (C.16)
R
En effet, Ω = 7.3 × 10−5 rad s −1 , R = 6.4 × 106 m et V ne dépasse pas 1000 km h −1 =
277 m s−1 , si bien que
(RΩ) 2
c2
V RΩ
= 2.4 × 10−12 et max
c2
= 1.4 × 10 −12 . (C.17)
Puisque GM/c 2 R = 7 × 10 −10 = Ξ⊕ (facteur de compacité de la Terre), on en déduit que
les inégalités (C.16) sont vérifiées. On peut donc réduire le terme en facteur de h/R dans
(C.15) à GM/(c 2 R) et écrire
∆τavion − ∆τsol
∆τsol
= GM
c 2 R
h V
−
R c2
V
2
+ RΩ sin θ . (C.18)
Le premier terme du membre de droite, GM/(c 2 R) h/R, correspond à l’effet Einstein
décrit au § 3.4.2. Il est toujours positif, ce qui implique que l’observateur dans l’avion
vieillit plus vite que celui resté au sol, ce dernier étant plus profond dans le champ gravitationnel
de la Terre. Le second terme du membre de droite de (C.18), −V (V/2 +
RΩ sin θ)/c 2 , correspond à la dilatation des temps des corps en mouvement en relativité
restreinte. Son interprétation n’est pas directe car ni l’avion ni la station au sol ne
sont en mouvement inertiel : tous deux tournent par rapport à un référentiel inertiel. Le
signe de ce terme dépend d’ailleurs du sens du mouvement de l’avion. Pour des vitesses
d’avion typiques (|V | < 1000 km h −1 ) et un angle θ pas trop petit, on a en effet toujours
V/2 + RΩ sin θ > 0, de sorte que le signe du terme −V (V/2 + RΩ sin θ)/c 2 est celui de
−V , c’est-à-dire positif pour un vol vers l’ouest et négatif pour un vol vers l’est. On peut
comprendre ce comportement si on se souvient que la dilatation des temps de la relativité
restreinte signifie qu’un observateur en mouvement par rapport à un observateur inertiel
vieillit moins vite que ce dernier, les géodésiques du genre temps empruntées par les observateurs
inertiels étant les lignes d’univers qui maximisent le temps propre entre deux
événements donnés (cf. § 2.6). On peut alors comparer la vitesse de l’avion ˜ Vavion mesurée
par un observateur inertiel (observateur de coordonnées (r, θ, ϕ) fixes) et la vitesse ˜ Vsol
de la station au sol, mesurée par le même observateur. Pour un vol vers l’est, soit dans
le même sens que la Terre, on a | ˜ Vavion| > | ˜ Vsol|, de sorte que la dilatation des temps est
plus grande dans le cas de l’avion que dans celui de la station au sol. En omettant le
terme gravitationnel discuté plus haut (effet Einstein), on a donc ∆τavion − ∆τsol < 0, ce