Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

200 Solutions des problèmes
Au vu de (C.6) et (C.7), il est légitime d’effectuer un développement limité au premier
ordre de (C.5) ; on obtient ainsi
u 0 1 + GM
c 2 r
5 Puisque u 0 = dt/dτ, on a immédiatement
∆τ =
1
+
2c2
˙r 2 + r 2
θ˙ 2 2 2 2
+ r sin θ ˙ϕ . (C.8)
t2
t1
dτ =
t2
t1
dt
. (C.9)
u0 En effectuant un développement limité au premier ordre de 1/u 0 , il vient
∆τ =
t2
t1
1 − GM
c 2 r
1
−
2c2
˙r 2 + r 2
θ˙ 2 2 2 2
+ r sin θ ˙ϕ
dt. (C.10)
6 Pour l’observateur qui reste au sol, r = R = const, ˙r = 0, θ = const, ˙ θ = 0 et
˙ϕ = Ω = const. L’intégrant de (C.10) est alors indépendant de t, de sorte qu’il vient
∆τsol =
1 − GM
c2R − R2Ω2 sin2 θ
2c2
∆t. (C.11)
7 Pour l’avion, compte tenu des hypothèses faites, r = R + h = const, ˙r = 0, θ = const,
˙θ = 0, r sin θ ˙ϕ = V + rΩ sin θ = V + (R + h)Ω sin θ = const. L’intégrant de (C.10) est de
nouveau indépendant de t et il vient
∆τavion = 1 − GM
c2 [V + (R + h)Ω sin θ]2
−
(R + h) 2c2
∆t. (C.12)
8 En faisant le rapport de (C.12) et (C.11), le terme ∆t s’élimine et on obtient
∆τavion
∆τsol
=
1 − GM
c2 [V + (R + h)Ω sin θ]2
−
(R + h) 2c2
1 − GM
c2 1
−
(R + h) 2c2 + GM
c 2 R
×
1 − GM
c2R − R2Ω2 sin2 θ
2c2 −1 V 2 + 2V (R + h)Ω sin θ + (R + h) 2 Ω 2 sin 2 θ
+ 1
2c 2 R2 Ω 2 sin 2 θ, (C.13)
où l’on a effectué un développement limité pour obtenir la seconde ligne. Après simplification
des termes en R 2 Ω 2 sin 2 θ, on aboutit à la formule demandée :
∆τavion − ∆τsol
∆τsol
= GM
c 2
h
R(R + h) − 1
2c 2
V 2 + 2V (R + h)Ω sin θ + h(2R + h)Ω 2 sin 2 θ .
(C.14)