Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

20 Cadre géométrique
x
e x
z
e z
Ο
ϕ
θ
e y
Fig. 2.5 – Coordonnées sphériques et base orthonormale associée (er, eθ, eϕ). Cette dernière est reliée
à la base naturelle ( ∂r, ∂θ, ∂ϕ) par er = ∂r, eθ = r −1 ∂θ, eϕ = (r sin θ) −1 ∂ϕ [cf. Eq. (2.66)].
r
Les vecteurs de la base naturelle associée aux coordonnées sphériques s’obtiennent
à partir de (2.13) :
M
e
e
θ
∂t(f) = ∂f
∂t , ∂r(f) = ∂f
∂r , ∂θ(f) = ∂f
∂θ , ∂ϕ(f) = ∂f
, (2.22)
∂ϕ
où f est un champ scalaire générique sur R 4 . En utilisant la loi de composition des
dérivées partielles, on obtient
soit, au vu de (2.21),
∂f
∂r
Ainsi [cf. Eq. (2.22)]
De même,
∂f
∂r
c’est-à-dire, compte tenu de (2.21),
r
e ϕ
y
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z
= + + , (2.23)
∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r
∂f
∂f
∂f
= sin θ cos ϕ + sin θ sin ϕ + cos θ. (2.24)
∂x ∂y ∂z
∂r = sin θ cos ϕ ∂x + sin θ sin ϕ ∂y + cos θ ∂z. (2.25)
∂θ = ∂x
∂θ ∂x + ∂y
∂θ ∂y + ∂z
∂θ ∂z
(2.26)
∂ϕ = ∂x
∂ϕ ∂x + ∂y
∂ϕ ∂y + ∂z
∂ϕ ∂z, (2.27)
∂θ = r cos θ cos ϕ ∂x + r cos θ sin ϕ ∂y − r sin θ ∂z (2.28)
∂ϕ = −r sin θ sin ϕ ∂x + r sin θ cos ϕ ∂y. (2.29)