Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

C.5 Expérience de Hafele & Keating 199
C.5 Expérience de Hafele & Keating
1 À un très bon degré d’approximation, la Terre est un corps à symétrie sphérique.
D’après le théorème de Birkhoff (cf. § 3.2.4), la métrique à l’extérieur de la Terre est alors
la métrique de Schwarzschild, avec comme paramètre M la masse de la Terre.
2 Non. Les coordonnées (ct, r, θ, ϕ) sont liées au vecteur de Killing ∂t, qui est associé
au caractère statique l’espace-temps de Schwarzschild (cf. § 3.2.1). Elles ne tournent donc
pas. Autrement dit, pour r → ∞, elles coïncident avec les coordonnées d’un observateur
asymptotiquement inertiel.
3 Par définition de la 4-vitesse (cf. § 2.85),
u α = 1 dx
c
α
dτ
On a donc (compte tenu de x 0 = ct)
u α = u 0
1 dx
=
c
α dt
dt dτ
1,
˙r
c ,
˙θ
c ,
= u0
c
dxα . (C.1)
dt
˙ϕ
c
. (C.2)
u 0 est déterminé par la condition d’unitarité de u : u · u = −1, qui est équivalente à
gαβu α u β = −1. Avec les coefficients métriques donnés dans l’énoncé, il vient
−
1 − 2GM
c2
(u
r
0 ) 2
+ 1 − 2GM
c2 −1 (u
r
r ) 2 + r 2 (u θ ) 2 + sin 2 θ (u ϕ ) 2 = −1, (C.3)
soit, au vu de (C.2),
(u 0 ) 2
−1 + 2GM
c2r +
1 − 2GM
c2
−1 2 ˙r ˙θ 2
+ r2
r c2 c2 + sin2 θ ˙ϕ2
c2
= −1. (C.4)
Puisque u 0 > 0 (u 0 = dt/dτ), on en déduit
u 0 =
1 − 2GM
c 2 r
1
−
c2 1 − 2GM
c2 −1 ˙r
r
2 + r 2 −1/2 θ˙ 2 2 2 2
+ r sin θ ˙ϕ . (C.5)
4 Si l’observateur n’est pas animé d’une vitesse relativiste par rapport aux coordonnées
de Schwarzschild,
˙r 2 /c 2 ≪ 1, r 2 ˙ θ 2 /c 2 ≪ 1, et r 2 ˙ϕ 2 /c 2 ≪ 1. (C.6)
Par ailleurs, comme r ≥ R (R = rayon de la Terre), GM/(c 2 r) ≤ Ξ⊕, où Ξ⊕ :=
GM/(c 2 R) 7 × 10 −10 est le facteur de compacité de la Terre (cf. Tableau 3.1). D’où
GM
c 2 r
≪ 1. (C.7)