Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

198 Solutions des problèmes
d’où
L’intégration donne
cdτ = ± dξ
1 + aξ .
cτ = ±a −1 ln(1 + aξ) + const,
le signe ± correspondant au sens de propagation des photons. Ces géodésiques sont
représentées sur la Fig. C.4 dans un diagramme d’espace-temps en coordonnées de Rindler.
On remarque qu’au voisinage de la ligne d’univers L de l’observateur O, les géodésiques
sont inclinées à ±45 ◦ , tout comme dans un référentiel inertiel : les effets de l’accélération ne
se font sentir qu’à une distance finie de L. On remarque également qu’aucune géodésique
ne provient de l’horizon H.
3.8 Les symboles de Christoffel sont obtenus par la formule (2.131) :
Γ ′γ
αβ := 1
2 g′γσ
′ ∂g σβ
∂x ′α + ∂g′ ασ
∂x ′β − ∂g′ αβ
∂x ′σ
.
Étant données les composantes (B.52), on obtient
Γ ′0
αβ =
1
−
2(1 + aξ) 2
′ ∂g 0β
∂x ′α + ∂g′ α0
∂x ′β
Γ
′1
αβ = − 1
′ ∂g 1β
2 ∂x ′α + ∂g′ α1
∂x ′β − ∂g′
αβ
∂ξ
Γ ′a
αβ = 0, a = 2, 3.
Finalement, les seuls symboles de Christoffel non nuls sont
Γ ′0
01 = Γ ′0
10 = a
1 + aξ
et Γ ′1
00 = a(1 + aξ).
3.9 Les composantes du tenseur de Riemann se calculent en injectant les symboles de
Christoffel dans la formule (4.98). On obtient, pour toutes les composantes :
Par exemple,
R ′α
βµν = 0.
R ′0
101 = − ∂
∂ξ Γ′0 01 − Γ ′0
01Γ ′0
10 = − ∂
a
−
∂ξ 1 + aξ
a2 = 0.
(1 + aξ) 2
Le résultat ci-dessus était attendu : il signifie que le tenseur de Riemann est identiquement
nul dans la région couverte par les coordonnées de Rindler. Or cette région n’est ni plus
ni moins qu’une région de l’espace-temps de Minkowski, dont on sait que le tenseur de
Riemann vaut zéro (espace-temps plat).