Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

C.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 197
a cτ
H
3
2
1
L
0
-1 0 1 2
a ξ
Fig. C.4 – Géodésiques lumière dans un diagramme d’espace-temps en coordonnées de Rindler (cτ, ξ).
des composantes d’un tenseur deux fois covariant : g ′ αβ = gµν ∂x µ /∂x ′α ∂x ν /∂x ′β avec la
matrice jacobienne ∂x µ /∂x ′α déduite de (B.51).
3.6 D’après (B.52), ∂g′ αβ
∂τ = 0. On en déduit que ∂τ est un vecteur de Killing. De plus,
il s’agit d’un vecteur de genre temps : ∂τ · ∂τ = g ′ ττ = −c2 (1 + aξ) 2 < 0. ∂τ est donc le
vecteur de Killing associé à la stationnarité du référentiel de l’observateur O.
En revenant à la définition première des vecteurs comme des opérateurs différentiels agissant
sur les champs scalaires, on obtient
∂τ = ∂
∂τ
ξ
= ∂
∂ct
x
∂ct
∂τ
ξ
+ ∂
∂x
t
∂x
∂τ
ξ
= ∂ct
∂τ
ξ
∂0 + ∂x
∂τ
En utilisant (B.51) pour exprimer les dérivées ∂ct/∂τ et ∂x/∂τ, il vient
∂τ = ca(ξ + a −1 )
cosh(acτ) ∂0 + sinh(acτ) ∂x
En invoquant de nouveau (B.51), on peut mettre cette expression sous une forme très
simple :
∂τ = ca (x + a −1 ) ∂0 + ct
∂x .
3.7 Cherchons les géodésiques de longueur nulle à partir de l’élément de longueur (B.52),
en y faisant dy = 0 et dz = 0, puisque on se restreint au plan (ct, x) :
0 = − (1 + aξ) 2 c 2 dτ 2 + dξ 2 ,
.
ξ
∂x.