Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

196 Solutions des problèmes
− cosh(acτ) e 0 (1) + sinh(acτ) e x (1) = 0.
De la deuxième équation on tire e0 (1) = tanh(acτ) ex (1) . En reportant cette valeur dans la
première équation, il vient [ex (1) ]2 / cosh 2 (acτ) = 1, soit, puisque ex (1) > 0, ex (1) = cosh(acτ).
On a alors e0 (1) = sinh(acτ). Au total,
e(1) = sinh(acτ) ∂0 + cosh(acτ) ∂x.
3.3 Au voisinage de L, l’hyperplan Rτ coïncide avec l’hypersurface de simultanéité de
O pour le temps propre τ (cf. Fig. 2.14). Il est donc naturel que O attribue la coordonnée
temporelle τ au point M. Puisque (e(1), e(2), e(3)) est une base orthonormale de l’espace
vectoriel tangent à Rτ, ξ, y et z sont les distances métriques entre les points O(τ) et M,
tous deux situés dans Rτ. Pour M proche de L (en fait tel que −−−−−→
O(τ )M · −−−−−→
O(τ )M ≪ a−2 ),
ces distances peuvent être obtenues par la méthode “radar” exposée dans le § 6.4.
Les coordonnées minkowskiennes de O(τ) sont (Xα (τ)) [formules (B.37)-(B.40)] et celles
de M sont (ct, x, y, z). On a donc
−−−−−→
O(τ )M = [ct − X 0 (τ)] ∂0 + [x − X x (τ)] ∂x + y ∂y + z ∂z.
En remplaçant dans l’expression (B.50) les e(i) par leurs valeurs obtenues au 3.2, à savoir
e(1) = sinh(acτ) ∂0 + cosh(acτ) ∂x, e(2) = ∂y et e(3) = ∂z, et en comparant avec la
décomposition ci-dessus, on obtient évidemment y = y et z = z, ainsi que
ξ sinh(acτ) = ct − X 0 (τ)
ξ cosh(acτ) = x − X x (τ).
En remplaçant X 0 (τ) et X x (τ) par les expressions (B.37) et (B.38), on obtient (B.51).
Quelques lignes de coordonnée ξ constante sont représentées sur la Fig. C.3.
L’équation de la ligne d’univers L dans les coordonnées de Rindler est ξ = 0, y = 0 et
z = 0. En reportant ces valeurs dans (B.51), on obtient bien (B.37)-(B.40).
3.4 H est donné par l’équation ct = x + a −1 (cf. 2.1). En reportant dans (B.51), il vient
(ξ + a −1 ) sinh(acτ) = (ξ + a −1 ) cosh(acτ), c’est-à-dire (ξ + a −1 ) exp(−acτ) = 0. On en
déduit
ξ| H = −a −1 .
3.5 En différenciant les deux premières expressions de (B.51), il vient
c dt = (1 + aξ) cosh(acτ) c dτ + sinh(acτ) dξ
dx = (1 + aξ) sinh(acτ) c dτ + cosh(acτ) dξ.
En utilisant cosh 2 (acτ) − sinh 2 (acτ) = 1, on en déduit
−c 2 dt 2 + dx 2 = −(1 + aξ) 2 c 2 dτ 2 + dξ 2 .
En reportant dans (B.27), avec gµν dx µ dx ν = g ′ µν dx ′µ dx ′ν , on obtient (B.52).
Remarque : on peut également obtenir (B.52) en appliquant la loi de transformation