Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

a c t
C.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 195
4
3
2
1
0
-1
A
∆
τ=1.5(ca) -1
(ξ=-a −1 )
ξ=-0.5a -1 ξ=0.5a -1
L
(ξ=0)
ξ=a -1
R τ
τ=(ca) -1
τ=0.5(ca) -1
ξ=1.5a -1
τ=0
-2
-2 -1 0 1 2 3 4
a x
Fig. C.3 – Même diagramme d’espace-temps que sur les Fig. C.1 et C.2, mais sur lequel on a dessiné
l’espace local de repos de O, Rτ , pour quatre instants différents : τ = 0, 0.5(ca) −1 , (ca) −1 et 1.5(ca) −1 ,
ainsi que des lignes de coordonnée ξ constante.
C.4.3 Coordonnées de Rindler
3.1 Soit M un point générique de Rτ, de coordonnées (ct, x, y, z). Le vecteur −−−−−→
O(τ )M
est tangent à Rτ et doit donc obéir à u· −−−−−→
O(τ )M = 0. Les composantes du vecteur −−−−−→
O(τ )M
sont (ct − X 0 (τ), x − X x (τ), y, z) et celle de u sont (u 0 = cosh(acτ), u x = sinh(acτ), 0, 0)
(d’après la réponse à la question 1.5). La relation d’orthogonalité entre u et −−−−−→
O(τ )M
s’écrit donc
− cosh(acτ) ct − X 0 (τ) + sinh(acτ) [x − X x (τ)] = 0.
En reportant les valeurs de X 0 (τ) et X x (τ) données par (B.37) et (B.38) et en divisant
par cosh(acτ), on obtient (B.47).
Les coordonnées du point A vérifient l’Eq. (B.47), donc A ∈ Rτ.
Quelques hyperplans Rτ sont représentés (comme des droites) dans le diagramme d’espacetemps
de la Fig. C.3.
3.2 Puisque e(1) est tangent au plan (t, x), il s’écrit nécessairement sous la forme (B.48).
Les conditions (iii) et (iv) impliquent que les vecteurs e(2) et e(3) soient dans le plan (y, z).
Comme de plus, ils doivent être unitaires et orthogonaux, le choix (B.49) est permis.
Les composantes de e(1) découlent des deux conditions e(1) · e(1) = 1 (vecteur unitaire) et
u · e(1) = 0 (e(1) tangent à Rτ). Ces dernières s’écrivent respectivement, compte tenu des
composantes de u obtenues au 1.5,
−[e 0 (1)] 2 + [e x (1)] 2 = 1