Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

194 Solutions des problèmes
sont constants sur E (∇ ∂0 = 0 et ∇ ∂x = 0), il en est donc de même pour p.
L’énergie du photon mesurée par O est
εrec = −u · pc = −
0 x
= εem u (τ) ∓ u (τ) .
u 0 (τ) ∂0 + u x (τ) ∂x
· pc = −c u 0 (τ) ∂0 · p +u
=−εem/c
x (τ)
∂x · p
=±εem/c
En reportant les valeurs de u 0 (τ) et u x (τ) obtenues au 1.5, il vient
εrec = εem [cosh(acτ) ∓ sinh(acτ)] = εem exp(∓acτ),
le signe − correspondant au cas no. 1 du 1.8 (propagation vers la droite) et le signe + au
cas no. 2 (propagation vers la gauche). En utilisant la formule (B.42) [resp. (B.43)] pour
le cas no. 1 [resp. no. 2], on obtient
εrec = εem [1 + a(xem − ctem)] si xem < a −1
εrec = εem [1 + a(xem + ctem)] si xem > a −1
1 + (actem) 2
− 1
1 + (actem) 2
− 1 .
Lorsque le point d’émission s’approche de H, xem + a −1 − ctem → 0 et on se trouve dans
le cas no. 1 (c’est-à-dire à gauche de L). On doit donc utiliser la première des formules
ci-dessus, qui conduit à εrec → 0. Ainsi l’énergie reçue des photons émis près de l’horizon
tend vers zéro.
2.4 Si tem = 0, les deux formules obtenues au 1.9 se réduisent immédiatement à (B.45),
sans distinction sur xem (c’est-à-dire à la fois pour xem < 0 et pour xem > 0). Le décalage
spectral est donné par la formule z = λrec/λem − 1, avec des longueurs d’ondes dans le
rapport inverse des énergies. D’où
z =
1
− 1.
1 + axem
Lorsque a|xem| ≪ 1, le développement limité à l’ordre un en axem conduit à (B.46).
Puisque a a la dimension de l’inverse d’une longueur, la dimension de g est celle d’une
accélération.
Pour comparer avec le décalage spectral gravitationnel (effet Einstein) considérons la
formule (3.69) avec hrec = 0. Elle s’écrit
z = − ghem
c 2 ,
où g = |g(r0)| est la valeur absolue de l’accélération de la pesanteur au niveau du récepteur
et hem l’altitude de l’émetteur par rapport au récepteur. Si l’on identifie xem et hem,
on obtient un accord parfait entre la formule de l’effet Einstein et (B.46). Ceci est une
conséquence du Principe d’équivalence : localement, on ne peut distinguer le champ gravitationnel
d’une accélération dans l’espace-temps de Minkowski. Notons que les signes
sont bien corrects : la quadriaccélération a vers les x croissants crée dans le référentiel
de l’observateur O une force d’inertie dirigée vers les x décroissants. Si on identifie cette
force d’inertie à la pesanteur g, le “haut” pour O est donc pour x > 0 et le “bas” pour
x < 0. Cela justifie l’identification xem = hem.