Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

C.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 193
à la branche d’hyperbole (∆ est elle-même une droite de pente 45 ◦ ). Cela équivaut à la
condition (B.41). Les événements situés au dessus de ∆ dans le plan (ct, x) ne sont donc
jamais visibles pour l’observateur O : ∆ constitue un horizon pour O.
2.2 Le photon est reçu dans la partie accélérée de la ligne d’univers de O, c’est-à-dire
la partie t > 0 (branche d’hyperbole dans le diagramme ci-dessus).
Il faut distinguer deux cas (cf. Fig. C.2) :
1. Le photon est émis dans la partie du diagramme située à gauche de L : sa ligne
d’univers est alors une droite de pente +45 ◦ , dont l’équation est
X 0 (τ) − ctem
X x (τ) − xem
= 1.
En remplaçant X 0 (τ) et X x (τ) par les valeurs données par (B.37) et (B.38), on
obtient sinh(acτ)−actem = cosh(acτ)−1−axem, soit 1+a(xem−ctem) = cosh(acτ)−
sinh(acτ) = exp(−acτ). D’où (B.42).
2. Le photon est émis dans la partie du diagramme située à droite de L : sa ligne
d’univers est alors une droite de pente −45 ◦ , dont l’équation est
X 0 (τ) − ctem
X x (τ) − xem
= −1.
Il vient alors sinh(acτ) − actem = − cosh(acτ) + 1 + axem, soit 1 + a(xem + ctem) =
cosh(acτ) + sinh(acτ) = exp(acτ). D’où (B.43).
Lorsque a → 0, on peut développer les logarithmes au premier ordre et (B.42) et (B.43)
se réduisent respectivement à
τ tem − xem
c
τ tem + xem
c
si xem < 0
si xem > 0.
On reconnaît les temps de réception que l’on aurait obtenus si O était resté immobile en
x = 0.
2.3 p est un vecteur du genre lumière tangent au plan (ct, x). Il s’écrit donc p =
α( ∂0 ± ∂x), le signe + correspondant au cas no. 1 ci-dessus (propagation vers la droite)
et le signe − au cas no. 2 (propagation vers la gauche). L’énergie du photon mesurée par
l’observateur inertiel est donnée par la formule εem = − ∂0 · pc (cf. § 2.5.4). On obtient
ainsi εem = αc, d’où (B.44).
∂0 et ∂x étant deux vecteurs de Killing de l’espace-temps de Minkowski (associés respectivement
à la stationnarité de cet espace-temps et à son invariance par translation dans la direction
x), et le photon décrivant une géodésique, les quantités ∂0·p et ∂x·p sont conservées
le long de la ligne d’univers du photon. Elles valent respectivement ∂0 · p = −εem/c et
∂x · p = ±εem/c. Dans le cas présent (espace-temps de Minkowski), les vecteurs ∂0 et ∂x