Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris
192 Solutions des problèmes a c t 4 3 2 1 0 -1 A u 0.5 0 ∆ L 1.0 a 1.5 -2 -2 -1 0 1 2 3 4 a x Fig. C.1 – Ligne d’univers de l’observateur O dans le plan (ct, x). Les quatre événements représentés le long de L sont étiquetés par la valeur du temps propre τ, en unité de (ca) −1 : τ = 0, 0.5(ca) −1 , (ca) −1 et 1.5(ca) −1 . Fig. C.2 – Émission d’un photon par un observateur inertiel (quadrivitesse ∂0) et réception par O (quadrivitesse u). Le vecteur p est la quadri-impulsion du photon. La zone hachurée représente la région d’espace-temps cachée de O par l’horizon de Rindler H. L’intersection de ce dernier avec le plan de la figure est la droite ∆ asymptote de L.
C.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 193 à la branche d’hyperbole (∆ est elle-même une droite de pente 45 ◦ ). Cela équivaut à la condition (B.41). Les événements situés au dessus de ∆ dans le plan (ct, x) ne sont donc jamais visibles pour l’observateur O : ∆ constitue un horizon pour O. 2.2 Le photon est reçu dans la partie accélérée de la ligne d’univers de O, c’est-à-dire la partie t > 0 (branche d’hyperbole dans le diagramme ci-dessus). Il faut distinguer deux cas (cf. Fig. C.2) : 1. Le photon est émis dans la partie du diagramme située à gauche de L : sa ligne d’univers est alors une droite de pente +45 ◦ , dont l’équation est X 0 (τ) − ctem X x (τ) − xem = 1. En remplaçant X 0 (τ) et X x (τ) par les valeurs données par (B.37) et (B.38), on obtient sinh(acτ)−actem = cosh(acτ)−1−axem, soit 1+a(xem−ctem) = cosh(acτ)− sinh(acτ) = exp(−acτ). D’où (B.42). 2. Le photon est émis dans la partie du diagramme située à droite de L : sa ligne d’univers est alors une droite de pente −45 ◦ , dont l’équation est X 0 (τ) − ctem X x (τ) − xem = −1. Il vient alors sinh(acτ) − actem = − cosh(acτ) + 1 + axem, soit 1 + a(xem + ctem) = cosh(acτ) + sinh(acτ) = exp(acτ). D’où (B.43). Lorsque a → 0, on peut développer les logarithmes au premier ordre et (B.42) et (B.43) se réduisent respectivement à τ tem − xem c τ tem + xem c si xem < 0 si xem > 0. On reconnaît les temps de réception que l’on aurait obtenus si O était resté immobile en x = 0. 2.3 p est un vecteur du genre lumière tangent au plan (ct, x). Il s’écrit donc p = α( ∂0 ± ∂x), le signe + correspondant au cas no. 1 ci-dessus (propagation vers la droite) et le signe − au cas no. 2 (propagation vers la gauche). L’énergie du photon mesurée par l’observateur inertiel est donnée par la formule εem = − ∂0 · pc (cf. § 2.5.4). On obtient ainsi εem = αc, d’où (B.44). ∂0 et ∂x étant deux vecteurs de Killing de l’espace-temps de Minkowski (associés respectivement à la stationnarité de cet espace-temps et à son invariance par translation dans la direction x), et le photon décrivant une géodésique, les quantités ∂0·p et ∂x·p sont conservées le long de la ligne d’univers du photon. Elles valent respectivement ∂0 · p = −εem/c et ∂x · p = ±εem/c. Dans le cas présent (espace-temps de Minkowski), les vecteurs ∂0 et ∂x
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Fig. C.1 – Ligne d’univers <strong>de</strong> l’observateur O dans le plan (ct, x). Les quatre événements représentés<br />
le long <strong>de</strong> L sont étiquetés par la valeur du temps propre τ, en unité <strong>de</strong> (ca) −1 : τ = 0, 0.5(ca) −1 , (ca) −1<br />
et 1.5(ca) −1 .<br />
Fig. C.2 – Émission d’un photon par un observateur inertiel (quadrivitesse ∂0) et réception par O<br />
(quadrivitesse u). Le vecteur p est la quadri-impulsion du photon. La zone hachurée représente la région<br />
d’espace-temps cachée <strong>de</strong> O par l’horizon <strong>de</strong> Rindler H. L’intersection <strong>de</strong> ce <strong>de</strong>rnier avec le plan <strong>de</strong> la<br />
figure est la droite ∆ asymptote <strong>de</strong> L.
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