Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

C.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 191
Comme u 0 = 1 + (u x ) 2 et 1 + sinh 2 (acτ) = cosh 2 (acτ), on en déduit
u 0 (τ) = cosh(acτ).
On peut donc écrire la quadrivitesse de O sous la forme
u = cosh(acτ) ∂0 + sinh(acτ) ∂x.
1.6 a) Puisque u α = c −1 dX α /dτ (réponse à la question 1.1), on déduit du résultat de
la question 1.5 que
dX 0
dτ
= c cosh(acτ) et
dX x
dτ
= c sinh(acτ).
Compte tenu des conditions initiales, X 0 (0) = 0 et X x (0) = 0, ce système s’intègre
immédiatement pour donner (B.37)-(B.38). Quant aux résultats (B.39) et (B.40), ils
découlent de (B.34) avec les conditions initiales X y (0) = 0 et X z (0) = 0.
b) Dans le plan (t, x), la courbe correspondant aux équations (B.37) et (B.38) est une
branche d’hyperbole, ayant pour axe la droite t = 0 et pour asymptote la droite ct =
x + a −1 , c’est-à-dire ∆. L’équation de L en terme de (t, x) s’obtient à partir de (B.37)-
(B.38) et de la relation cosh 2 x − sinh 2 x = 1 : il vient
c) cf. Fig. C.1.
1.7 On a
v = dx
dt
dx dτ
=
dτ dt
En utilisant (B.37) on obtient
(ax + 1) 2 − (act) 2 = 1.
cux sinh(acτ)
= = c
u0 cosh(acτ)
v = c
act
1 + (act) 2 .
sinh(acτ)
= c
1 + sinh 2 (acτ)
Pour 0 ≤ t ≪ (ca) −1 , c’est-à-dire 0 ≤ act ≪ 1, cette expression se réduit à v c 2 at. On
retrouve l’expression non relativiste de la vitesse en fonction de l’accélération et du temps
avec la condition initiale v(0) = 0. Notons que c 2 a a la dimension d’une accélération.
Pour t → +∞, la formule ci-dessus donne v → c : la vitesse de O mesurée par l’observateur
inertiel tend vers la vitesse de la lumière, ce qui n’est pas surprenant puisque O est en
accélération constante.
C.4.2 Décalage spectral et effet Einstein
2.1 Dans le diagramme d’espace-temps en (ct, x), les lignes d’univers des photons sont
des droites de pente ±45 ◦ (cf. Fig. C.2). Pour que le photon atteigne la ligne d’univers
de O on en déduit que le point d’émission doit être situé en dessous de l’asymptote ∆