Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

190 Solutions des problèmes
C.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler
C.4.1 Mouvement uniformément accéléré
1.1 De part la définition u := c −1−→
dP /dτ de la quadrivitesse, il vient immédiatement
u α = 1 dX
c
α
dτ .
1.2 On a u · a = u · ∇u u = 1
2∇u(u · u) = 1
2∇u(−1) = 0. u étant un vecteur du genre
temps, on en déduit que a est nécessairement du genre espace.
1.3 Au vu de (B.27), les composantes gαβ de g par rapport aux coordonnées (xα ) sont
constantes. Par conséquent les symboles de Christoffel sont identiquement nuls : Γα βγ = 0.
On a donc aα = u µ ∇µuα = u µ ∂uα /∂x µ . Or u µ ∂uα /∂x µ = c−1duα /dτ [cf. Eq. (4.57)], d’où
la première égalité dans (B.31). La deuxième égalité découle alors de l’expression de uα (τ)
obtenue en 1.1.
1.4 a) Pour t ≤ 0, τ = t et u = ∂0. En particulier
u α (τ) = (1, 0, 0, 0) pour τ ≤ 0.
b) D’après (B.31), les composantes a α ont la dimension de l’inverse d’une longueur ; il en
est donc de même pour a.
c) La forme (B.32) de a implique a y = a z = 0, ce qui, au vu de la relation (B.31), se
traduit par
du y
dτ
= 0 et
Étant données les conditions initiales u y (0) = 0 et u z (0) = 0 [cf. a)], ce système s’intègre
immédiatement en u y (τ) = 0 et u z (τ) = 0, d’où (B.34). (B.35) n’est pas autre chose que
la condition de normalisation u · u = −1. Quant à (B.36), il s’agit de la condition (B.33)
compte tenu des composantes (B.31) de a et de la forme (B.27) des coefficients métriques.
1.5 De (B.35) on tire u 0 = 1 + (u x ) 2 (car u 0 > 0). En reportant dans (B.36), il vient
1
1 + (u x ) 2
du x
dτ
du z
dτ
= 0.
2 = c 2 a 2 .
D’après (B.32), du x /dτ = ca x > 0. En prenant la racine carrée de l’équation ci-dessus on
obtient donc
1 du
1 + (ux ) 2
x
dτ
= ca.
Étant donnée la condition initiale u x (0) = 0 [cf. 1.4a)], cette équation s’intègre en
u x (τ) = sinh(acτ).