Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

More documents

Recommendations

Info

18 Cadre géométrique Fig. 2.4 – Espaces vectoriels tangents TP (E ) et TQ(E ) en deux points P et Q d’une variété E . De même, on note ∂1, ∂2 et ∂3 les vecteurs tangents aux trois autres courbes de coordonnées constantes : ∂α(f) = ∂f . ∂xα (2.14) L’équation (2.12) s’écrit alors v(f) = ˙ X α ∂α(f) avec X˙ α dX := α . (2.15) dλ Puisque cette écriture est valable pour tout champ scalaire f, on obtient la décomposition suivante du vecteur v : v = ˙ X α ∂α. (2.16) On déduit de cette équation que l’ensemble des vecteurs en un point P ∈ E (ensemble des vecteurs tangents à toutes les courbes passant par P ) forme un espace vectoriel de dimension 4 sur R dont ( ∂0, ∂1, ∂2, ∂3) est une base. Cet espace vectoriel est appelé espace vectoriel tangent à la variété E au point P et est noté TP (E ) (cf. Fig. 2.4). La base ( ∂0, ∂1, ∂2, ∂3) est appelée base naturelle associée aux coordonnées (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ). Comme l’indique l’Eq. (2.16), les quantités ˙ X α sont les composantes du vecteur v par rapport à cette base vectorielle ; nous les noterons v α : v = v α ∂α avec v α := ˙ X α (λ) (2.17) Remarque : La définition ci-dessus fait apparaître les vecteurs sur une variété comme des opérateurs de dérivation directionnelle (la direction étant celle d’une courbe donnée). Il s’agit là de la définition intrinsèque des vecteurs en géométrie différentielle. Dans le cas où la variété est plongée dans R n (comme les variétés représentées sur la Fig. 2.2), on peut aussi définir les vecteurs tangents de manière extrinsèque, c’est-à-dire comme des vecteurs usuels de R n . Il est facile de voir que les deux notions coïncident.
2.2 L’espace-temps relativiste 19 Remarque : Il est important de remarquer que l’espace vectoriel tangent dépend du point considéré : il y a autant d’espaces vectoriels tangents que de points sur la variété, d’où l’indice P dans la notation TP (E ) (cf. Fig. 2.4). Cette situation diffère de celle de l’espace euclidien usuel R 3 , où l’on peut considérer qu’il n’y a qu’un seul espace vectoriel global : R 3 lui-même. Dans un changement de coordonnées2 (xα ) ↦→ (xα′ ), les composantes d’un vecteur v dans la nouvelle base naturelle s’expriment en fonction de celles relative à l’ancienne suivant v α′ = ∂xα′ ∂xβ vβ . (2.18) Cette formule se déduit aisément de l’Eq. (2.12) par la loi de composition des dérivations partielles. Remarque : Dans les livres de relativité plutôt anciens, on définit les vecteurs comme des “quadruplets de nombres” (v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ) qui se transforment suivant l’Eq. (2.18) lors d’un changement de coordonnées. Dans le cas présent de la variété d’espace-temps E de dimension 4, on qualifie les vecteurs de quadrivecteurs ou 4-vecteurs, pour les distinguer des vecteurs “ordinaires” de R 3 . Il souvent commode d’utiliser d’autres bases vectorielles de TP (E ) que les bases naturelles, c’est-à-dire des bases vectorielles non associées à un système de coordonnées. Un exemple de telles bases est constitué des bases orthonormales (la définition précise sera donnée au § 2.3.3). Ainsi, si (eα) = (e0, e1, e2, e3) est une base de TP (E ), on écrira, pour tout vecteur v : v = v α eα . (2.19) Nous noterons les composantes avec un chapeau sur l’indice, c’est-à-dire v ˆα , lorsqu’il y aura lieu de les distinguer des composantes liées à une base naturelle. Exemple : Prenons E = R 4 et un système de coordonnées cartésiennes (x α ) = (t, x, y, z). Les vecteurs de la base naturelle associée sont les vecteurs ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ∂t = (1, 0, 0, 0) ∂x = (0, 1, 0, 0) ∂y = (0, 0, 1, 0) ∂z = (0, 0, 0, 1). (2.20) Les coordonnées sphériques (xα′ ) = (t, r, θ, ϕ) sont définies à partir des coordonnées cartésiennes (t, x, y, z) suivant (cf. Fig. 2.5) ⎧ ⎨ ⎩ x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ. (2.21) 2 suivant l’usage en relativité, on met le symbole prime sur l’indice α alors qu’il serait plus correct de le mettre sur x
Page 1: Observatoire de Paris, Universités
Page 4 and 5: 4 TABLE DES MATIÈRES 2.6.2 Équati
Page 6 and 7: 6 TABLE DES MATIÈRES 6.4.1 Équati
Page 8 and 9: 8 TABLE DES MATIÈRES
Page 10 and 11: 10 Introduction purement newtonienn
Page 12 and 13: 12 Introduction
Page 14 and 15: 14 Cadre géométrique Fig. 2.1 - V
Page 16 and 17: 16 Cadre géométrique 2.2.3 Courbe
Page 20 and 21: 20 Cadre géométrique x e x z e z
Page 22 and 23: 22 Cadre géométrique Remarque : L
Page 24 and 25: 24 Cadre géométrique • de signa
Page 26 and 27: 26 Cadre géométrique 2.3.3 Bases
Page 28 and 29: 28 Cadre géométrique Fig. 2.6 - 4
Page 30 and 31: 30 Cadre géométrique que l’on d
Page 32 and 33: 32 Cadre géométrique de signature
Page 34 and 35: 34 Cadre géométrique Fig. 2.10 -
Page 36 and 37: 36 Cadre géométrique Rappelons qu
Page 40 and 41: 40 Cadre géométrique t 2 t’ 2 t
Page 46 and 47: 46 Cadre géométrique Les lignes d
Page 48 and 49: 48 Cadre géométrique où x0 0, x1
Page 50 and 51: 50 Cadre géométrique
Page 52 and 53: 52 Champ gravitationnel à symétri
Page 68 and 69:
68 Champ gravitationnel à symétri
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90 and 91:
90 Équation d’Einstein 4.2 Déri
Page 92 and 93:
92 Équation d’Einstein 4.2.2 Dé
Page 94 and 95:
94 Équation d’Einstein Remarque
Page 96 and 97:
96 Équation d’Einstein formes li
Page 98 and 99:
98 Équation d’Einstein les géod
Page 100 and 101:
100 Équation d’Einstein On dit a
Page 102 and 103:
102 Équation d’Einstein Si on ut
Page 104 and 105:
104 Équation d’Einstein Fig. 4.2
Page 106 and 107:
106 Équation d’Einstein 4.3.2 Pr
Page 108 and 109:
108 Équation d’Einstein • La c
Page 110 and 111:
110 Équation d’Einstein On retro
Page 112 and 113:
112 Équation d’Einstein On peut
Page 114 and 115:
114 Équation d’Einstein où K es
Page 116 and 117:
116 Équation d’Einstein l’Eq.
Page 118 and 119:
118 Équation d’Einstein
Page 120 and 121:
120 Trous noirs Laplace à la fin d
Page 122 and 123:
122 Trous noirs Fig. 5.1 - Espace-t
Page 124 and 125:
124 Trous noirs La première soluti
Page 126 and 127:
126 Trous noirs Fig. 5.3 - Diagramm
Page 128 and 129:
128 Trous noirs 5.5.2 Théorème d
Page 130 and 131:
130 Trous noirs Fig. 5.4. Il est à
Page 132 and 133:
132 Trous noirs Fig. 5.5 - Satellit
Page 134 and 135:
134 Trous noirs On retombe donc dan
Page 136 and 137:
136 Trous noirs
Page 138 and 139:
138 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 140 and 141:
140 Ondes gravitationnelles Ainsi,
Page 142 and 143:
142 Ondes gravitationnelles où l
Page 144 and 145:
144 Ondes gravitationnelles On peut
Page 146 and 147:
146 Ondes gravitationnelles Chercho
Page 148 and 149:
148 Ondes gravitationnelles coordon
Page 150 and 151:
150 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 152 and 153:
152 Ondes gravitationnelles Remarqu
Page 154 and 155:
154 Ondes gravitationnelles Puisque
Page 156 and 157:
156 Ondes gravitationnelles On reco
Page 158 and 159:
158 Ondes gravitationnelles Si M es
Page 160 and 161:
160 Ondes gravitationnelles
Page 162 and 163:
162 Solutions cosmologiques 7.2 Sol
Page 164 and 165:
164 Solutions cosmologiques dans l
Page 166 and 167:
166 Relativité et GPS Fig. A.1 - C
Page 168 and 169:
168 Relativité et GPS donné par g
Page 170 and 171:
170 Relativité et GPS où la const
Page 172 and 173:
172 Relativité et GPS Il vient alo
Page 174 and 175:
174 Relativité et GPS
Page 176 and 177:
176 Problèmes l’ordre de grandeu
Page 178 and 179:
178 Problèmes avec v 2 1 := v1 ·
Page 180 and 181:
180 Problèmes B.4 Observateur acc
Page 182 and 183:
182 Problèmes sorte que l’inters
Page 184 and 185:
184 Problèmes 3.8 Calculer les sym
Page 186 and 187:
186 Problèmes B.6 Quadriaccéléra
Page 188 and 189:
188 Problèmes
Page 190 and 191:
190 Solutions des problèmes C.4 Ob
Page 192 and 193:
192 Solutions des problèmes a c t
Page 194 and 195:
194 Solutions des problèmes sont c
Page 196 and 197:
196 Solutions des problèmes − co
Page 198 and 199:
198 Solutions des problèmes d’o
Page 200 and 201:
200 Solutions des problèmes Au vu
Page 202 and 203:
202 Solutions des problèmes qui co
Page 204 and 205:
204 Solutions des problèmes La dé
Page 206 and 207:
206 BIBLIOGRAPHIE [13] N. Straumann
Page 208 and 209:
Index (GCRS), 168 (TAI), 170 (TT),
Page 210:
210 INDEX paramètres affines, 49 p
show all

Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?