Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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186 Problèmes B.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker On considère un observateur O de ligne d’univers L dans un espace-temps (E , g). On désigne par u la 4-vitesse de O et par τ son temps propre. Soit (x α ) un système de coordonnées de E défini au voisinage de L . L’équation de L , paramétrée par le temps propre, est alors donnée par quatre fonctions X α : R → R telles que, le long de L , x α = X α (τ). (B.61) 1 Rappeler l’expression, en fonction de X α (τ), des composantes u α de la 4-vitesse u par rapport à la base naturelle ( ∂α) associée aux coordonnées (x α ). 2 Pour toute fonction scalaire f définie le long de L , c’est-à-dire toute fonction f : L → R, on désignera par ˜ f n’importe quel champ scalaire défini sur E qui coïncide avec f sur L , c’est-à-dire n’importe quel champ ˜ f : E → R, (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ↦→ ˜ f(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) qui vérifie ∀τ ∈ R, ˜ f(X 0 (τ), X 1 (τ), X 2 (τ), X 3 (τ)) = f(τ), (B.62) où f(τ) désigne la valeur de f au point de L de temps propre τ. ˜ f étant un champ scalaire sur E , on peut considérer son gradient ∇ ˜ f. Exprimer les composantes ∇α ˜ f de ∇ ˜ f par rapport aux coordonnées (x α ) en fonction des dérivées partielles de ˜ f. En utilisant les composantes de u α obtenues à la question 1, montrer que l’on a la relation ∇u ˜ f = u α ∇α ˜ f = 1 df . (B.63) c dτ 3 On appelle 4-accélération de l’observateur O le vecteur suivant défini le long de L : a := ∇u u, (B.64) où ∇ est la connexion associée à la métrique g. Montrer que a est un vecteur orthogonal à u. Que vaut a si L est une géodésique ? 4 Exprimer les composantes a α de a dans la base naturelle ( ∂α) en fonction des composantes de u et des symboles de Christoffel Γ α µν de la métrique g. 5 En utilisant les résultats des questions 1 et 2 (sans toutefois employer des notations distinctes pour ũ α et u α ), exprimer les composantes a α en terme des fonctions X α (τ). Comparer avec l’équation des géodésiques et conclure. 6 Pour tout champ vectoriel v sur E , on appelle dérivée de Fermi-Walker de v le long de L le vecteur défini en tout point de L par D FW u v := ∇u v + (u · v) a − (a · v) u. (B.65) Montrer que DFW u u = 0 et que si v est orthogonal à u (c’est-à-dire si v est dans l’espace local de repos de l’observateur O), alors DFW u v l’est également. La dérivée covariante ∇u v a-t-elle cette propriété ?
B.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker 187 7 Montrer que si v et w sont deux champs vectoriels définis le long de L tels que w = 0, alors le produit scalaire v · w est constant le long de L . D FW u v = 0 et DFW u 8 On définit l’opérateur vectoriel ⊥u : TP (E ) −→ TP (E ) v ↦−→ v + (u · v) u. (B.66) ⊥u est-il un opérateur linéaire ? Constater que ⊥u(u) = 0 et que pour tout vecteur v orthogonal à u, ⊥u(v) = v. En déduire que ⊥u est le projecteur orthogonal sur l’hyperplan normal à u (espace local de repos de l’observateur O). Exprimer la matrice ⊥ α β de ⊥u dans la base naturelle ( ∂α) en fonction des composantes u α du vecteur u et des composantes uα de la forme linéaire u associée à u par la métrique g. 9 Montrer que, pour tout champ vectoriel v orthogonal à u, D FW u v = ⊥u (∇u v) . (B.67)
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Observatoire de Paris, Universités
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