Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

186 Problèmes
B.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker
On considère un observateur O de ligne d’univers L dans un espace-temps (E , g).
On désigne par u la 4-vitesse de O et par τ son temps propre. Soit (x α ) un système de
coordonnées de E défini au voisinage de L . L’équation de L , paramétrée par le temps
propre, est alors donnée par quatre fonctions X α : R → R telles que, le long de L ,
x α = X α (τ). (B.61)
1 Rappeler l’expression, en fonction de X α (τ), des composantes u α de la 4-vitesse u
par rapport à la base naturelle ( ∂α) associée aux coordonnées (x α ).
2 Pour toute fonction scalaire f définie le long de L , c’est-à-dire toute fonction f :
L → R, on désignera par ˜ f n’importe quel champ scalaire défini sur E qui coïncide avec
f sur L , c’est-à-dire n’importe quel champ ˜ f : E → R, (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ↦→ ˜ f(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 )
qui vérifie
∀τ ∈ R, ˜ f(X 0 (τ), X 1 (τ), X 2 (τ), X 3 (τ)) = f(τ), (B.62)
où f(τ) désigne la valeur de f au point de L de temps propre τ. ˜ f étant un champ scalaire
sur E , on peut considérer son gradient ∇ ˜ f. Exprimer les composantes ∇α ˜ f de ∇ ˜ f par
rapport aux coordonnées (x α ) en fonction des dérivées partielles de ˜ f. En utilisant les
composantes de u α obtenues à la question 1, montrer que l’on a la relation
∇u ˜ f = u α ∇α ˜ f = 1 df
. (B.63)
c dτ
3 On appelle 4-accélération de l’observateur O le vecteur suivant défini le long de L :
a := ∇u u, (B.64)
où ∇ est la connexion associée à la métrique g. Montrer que a est un vecteur orthogonal
à u. Que vaut a si L est une géodésique ?
4 Exprimer les composantes a α de a dans la base naturelle ( ∂α) en fonction des composantes
de u et des symboles de Christoffel Γ α µν de la métrique g.
5 En utilisant les résultats des questions 1 et 2 (sans toutefois employer des notations
distinctes pour ũ α et u α ), exprimer les composantes a α en terme des fonctions X α (τ).
Comparer avec l’équation des géodésiques et conclure.
6 Pour tout champ vectoriel v sur E , on appelle dérivée de Fermi-Walker de v le long
de L le vecteur défini en tout point de L par
D FW
u v := ∇u v + (u · v) a − (a · v) u. (B.65)
Montrer que DFW u u = 0 et que si v est orthogonal à u (c’est-à-dire si v est dans l’espace
local de repos de l’observateur O), alors DFW u v l’est également. La dérivée covariante ∇u v
a-t-elle cette propriété ?