Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

B.5 Expérience de Hafele & Keating 185
6 Évaluer ∆τ en fonction de ∆t := t2 − t1 lorsque l’observateur O est celui qui reste au
sol. On notera alors ∆τsol := ∆τ. L’événement de coordonnée temporelle t1 est le départ
de l’avion et celui de coordonnée temporelle t2 son retour, après un tour du monde. On
désignera dans ce cas par R la valeur de r et par Ω la valeur de ˙ϕ. Numériquement
R = 6.4 × 10 6 m (rayon de la Terre) et Ω = 2π/T avec T = 23 h 56 min (période de
rotation de la Terre par rapport à un observateur asymptotiquement inertiel). Exprimer
le résultat en fonction de ∆t, R, Ω et θ, colatitude de l’aéroport où se trouve O.
7 Afin d’évaluer ∆τ =: ∆τavion pour l’observateur qui effectue le tour du monde en avion,
nous supposerons que (i) l’avion reste à la latitude de son point de départ (colatitude θ),
(ii) il vole à une altitude h constante, et (iii) sa vitesse par rapport au sol est V = V eϕ
(eϕ := (r sin θ) −1∂ϕ) avec V constant. De plus, nous négligerons les phases de décollage
et d’atterrissage, ainsi que les escales. Étant données les faibles vitesses mises en jeu, nous
supposerons également que la loi newtonienne d’addition des vitesses s’applique, de sorte
que
r sin θ ˙ϕavion = V + r sin θ ˙ϕsol = V + rΩ sin θ, (B.57)
avec V > 0 (resp. V < 0) si l’avion va vers l’est (resp. l’ouest). Exprimer alors ∆τavion en
fonction de R, h, V , θ, Ω et ∆t.
8 Montrer que l’écart relatif des temps propres des deux observateurs est
∆τavion − ∆τsol
∆τsol
= GM
c 2
h 1
−
R(R + h) 2c2 2 2 2
V + 2V (R + h)Ω sin θ + h(2R + h)Ω sin θ .
(B.58)
Que vaut le rapport h/R par rapport à 1 ? En déduire une simplification de la formule
ci-dessus. Une simplification supplémentaire peut être obtenue en comparant V RΩ/c 2 et
(RΩ) 2 /c 2 à GM/(c 2 R). Écrire alors la formule finale. Commenter.
9 Application numérique : les deux vols autour du monde, l’un vers l’est, l’autre vers
l’ouest, ont été effectués en octobre 1971 sur des Boeing 707 et 747 de compagnies
américaines, à une latitude moyenne de 30 ◦ , une altitude moyenne h = 9 km et une
vitesse moyenne par rapport au sol |V | = 830 km h −1 . Calculer l’écart relatif entre ∆τavion
et ∆τsol pour le vol vers l’est et pour celui vers l’ouest.
10 Calculer δτ := ∆τavion − ∆τsol pour chacun des deux vols. Les mesures effectuées par
Hafele & Keating et moyennées sur les quatre horloges embarquées, ont donné [28]
δτest = −59 ± 10 ns et δτouest = 273 ± 7 ns. (B.59)
Les prédictions théoriques, intégrant les trajectoires et les vitesses réelles des avions
(contrairement au calcul simplifié considéré ici), sont [27]
δτ RG
est = −40 ± 23 ns et δτ RG
ouest = 275 ± 21 ns, (B.60)
les barres d’erreur reflétant les incertitudes sur les paramètres de vol. Conclure.