Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

184 Problèmes
3.8 Calculer les symboles de Christoffel Γ ′γ
αβ associés aux coordonnées (x′α ).
3.9 Calculer le tenseur de Riemann à partir des symboles de Christoffel obtenus cidessus.
Conclure.
B.5 Expérience de Hafele & Keating
J.C. Hafele & R.E. Keating ont réalisé en 1971 [27, 28] une expérience qui a consisté à
embarquer quatre horloges atomiques au césium sur des avions de ligne pour un tour du
monde (avec escales) et à comparer au retour le temps mesuré par ces horloges avec des
horloges identiques restées au sol. Il s’agit donc d’une réalisation macroscopique du fameux
“problème des jumeaux”. Nous nous proposons dans ce qui suit d’établir les prédictions
de la relativité générale quant aux vieillissements relatifs des horloges, en nous basant sur
une trajectoire simplifiée des avions.
1 On suppose qu’au voisinage de la Terre, le tenseur métrique g est donné par la
métrique de Schwarzschild, c’est-à-dire qu’il existe un système de coordonnées (x α ) =
(ct, r, θ, ϕ), appelées coordonnées de Schwarzschild, tel que
gαβ dx α dx β
= − 1 − 2GM
c2
c
r
2 dt 2
+ 1 − 2GM
c2 −1 dr
r
2 +r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 , (B.53)
où G = 6.67 × 10 −11 m 3 kg −1 s −2 , c = 3 × 10 8 m s −1 et M = 6.0 × 10 24 kg. Pouvez-vous le
justifier ?
2 Peut-on dire que les coordonnées (ct, r, θ, ϕ) tournent avec la Terre ?
3 On considère un observateur O au voisinage de la Terre. Dans la suite, il s’agira
soit d’un observateur à bord d’un avion, soit d’un observateur resté au sol, à la base de
départ de l’avion. La ligne d’univers de O est décrite en fonction des coordonnées de
Schwarzschild par
r = r(t), θ = θ(t), ϕ = ϕ(t). (B.54)
On posera
˙r := dr
dt , θ ˙
dθ dϕ
:= , ˙ϕ := . (B.55)
dt dt
Exprimer les composantes uα de la 4-vitesse u de l’observateur O dans la base naturelle
(c−1∂t, ∂r, ∂θ, ∂ϕ) associée aux coordonnées de Schwarzschild, en fonction de ˙r, θ, ˙ ˙ϕ et
u0 := dt/dτ, où τ est le temps propre de l’observateur. Calculer u0 .
4 Montrer que si l’observateur n’est pas animé d’une vitesse relativiste (par rapport
aux coordonnées de Schwarzschild), une très bonne approximation de u 0 est
u 0 1 + GM
c 2 r
1
+
2c2
˙r 2 + r 2
θ˙ 2 2 2 2
+ r sin θ ˙ϕ . (B.56)
5 En déduire, sous la forme d’une intégrale par rapport à t, le temps propre ∆τ écoulé
pour l’observateur O entre deux événements de coordonnées temporelles t = t1 et t = t2.