Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

B.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 183
3.2 Un repère mobile lié à l’observateur O correspond à une tétrade orthonormale (e(α))
définie en tout point O(τ) de L comme suit : (i) e(0) = u, (ii) e(1) est un vecteur unitaire,
tangent à Rτ et au plan (t, x) (rappelons que vecteur unitaire signifie e(1) · e(1) = 1), (iii)
e(2) est un vecteur unitaire, tangent à Rτ et orthogonal à e(0), ainsi qu’à e(1), (iv) e(3) est
un vecteur unitaire, tangent à Rτ et orthogonal aux trois vecteurs précédents. Montrer
que le choix
e(1) = e 0 (1) ∂0 + e x (1) ∂x, e x (1) > 0, (B.48)
e(2) = ∂y et e(3) = ∂z (B.49)
correspond à une telle définition. Exprimer les composantes e 0 (1) et ex (1) du vecteur e(1) en
fonction de τ.
3.3 On définit dans la région de l’espace-temps qui n’est pas cachée de O par l’horizon
de Rindler H, un système de coordonnées (x ′α ) = (cτ, ξ, y, z) de la manière suivante : à
tout point M, on attribue la coordonnée x ′0 = cτ où τ est tel que M ∈ Rτ. On définit
ensuite les coordonnées (x ′1 , x ′2 , x ′3 ) = (ξ, y, z) comme l’unique triplet vérifiant
−−−−−→
O(τ )M = ξ e(1)(τ) + y e(2)(τ) + z e(3)(τ), (B.50)
où O(τ) = Rτ ∩ L. Les coordonnées (x ′α
) = (cτ, ξ, y, z) sont appelées coordonnées de
Rindler. Pour M voisin de L, montrer que ces coordonnées sont celles mises en œuvre
par l’observateur O à l’aide de mesures physiques. En décomposant le vecteur −−−−−→
O(τ )M
sur la base naturelle ( ∂α) liée aux coordonnées inertielles et en comparant avec (B.50) à
l’aide du résultat du 3.2, montrer que les formules de passage des coordonnées (xα ) aux
coordonnées (x ′α
) sont
⎧
⎪⎨
ct = (ξ + a
⎪⎩
−1 ) sinh(acτ)
x = (ξ + a−1 ) cosh(acτ) − a−1 (B.51)
y = y
z = z.
Vérifier que ces formules sont compatibles avec l’équation de la ligne d’univers L telle que
donnée par (B.37)-(B.40).
3.4 Que vaut la coordonnée ξ sur l’horizon de Rindler H ?
3.5 Montrer que les composantes du tenseur métrique par rapport aux coordonnées de
Rindler sont données par
g ′ µν dx ′µ dx ′ν = − (1 + aξ) 2 c 2 dτ 2 + dξ 2 + dy 2 + dz 2 . (B.52)
3.6 Que peut-on dire du vecteur ∂τ de la base naturelle associée aux coordonnées de
Rindler ? Exprimer ∂τ en fonction de ∂0, ∂x, t et x.
3.7 Quelle est, en terme des coordonnées (cτ, ξ), l’équation des géodésiques lumière
confinées au plan (ct, x) ? Dessiner l’allure de ces géodésiques dans un diagramme d’espacetemps
basé sur les coordonnées de Rindler (cτ, ξ). Commenter.