Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

182 Problèmes
sorte que l’intersection de H avec le plan (ct, x) est la droite ∆. H est appelé horizon de
Rindler.
2.2 Dans tout ce qui suit, on suppose que −|xem| < ctem < xem + a −1 . Dans quelle
partie de la ligne d’univers de O est alors reçu le photon ? Montrer que le temps propre
τ de réception du photon par O vaut
τ = − 1
ac ln [1 + a(xem − ctem)] si xem < a −1
τ = 1
ac ln [1 + a(xem + ctem)] si xem > a −1
Que donne la limite a → 0 de ces expressions ?
1 + (actem) 2
− 1
1 + (actem) 2
− 1
(B.42)
(B.43)
2.3 Soit p le vecteur quadri-impulsion du photon. Montrer qu’au point d’émission
p = εem
∂0 ±
c
∂x , (B.44)
où εem est l’énergie du photon mesurée par l’observateur inertiel de quadrivitesse ∂0. Que
peut-on dire des quantités ∂0 · p et ∂x · p le long de la trajectoire du photon ? Dans le
cas présent, que peut-on dire du vecteur p lui-même ? En déduire l’énergie du photon
mesurée par O à la réception, εrec. On exprimera εrec dans un premier temps en fonction
de τ, puis via (B.42) et (B.43) en fonction de tem et xem. Que se passe-t-il lorsque le point
d’émission s’approche de H ?
2.4 On suppose désormais tem = 0. Montrer que la formule reliant les énergies du
photon à l’émission et à la réception devient
εrec = εem (1 + axem) . (B.45)
On se place au voisinage de L, dans le sens où a|xem| ≪ 1. Montrer que le décalage
spectral correspondant à (B.45) est
z − gxem
c 2 , (B.46)
où l’on a posé g := c 2 a. Quelle est la dimension de g ? Comparer avec la formule donnant
le décalage spectral gravitationnel (effet Einstein). Commenter.
B.4.3 Coordonnées de Rindler
3.1 On rappelle que l’espace local de repos de l’observateur O est, en tout événement
O(τ) de temps propre τ le long de la ligne d’univers L, l’hyperplan Rτ passant par O(τ)
et orthogonal à u(τ). Montrer que l’équation de Rτ est
ct = tanh(acτ) (x + a −1 ). (B.47)
En déduire que cet hyperplan passe par le point A de coordonnées (ct, x, y, z) = (0, −a −1 , 0, 0),
tout comme l’asymptote à L. Dessiner Rτ sur le diagramme d’espace-temps construit au
1.6 pour quelques valeurs de τ.