Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

B.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 181
b) Quelle est la dimension de la constante a ?
c) Montrer que pour τ > 0, les composantes u α (τ) de la quadrivitesse de O obéissent au
système suivant :
u y (τ) = u z (τ) = 0 (B.34)
[u 0 (τ)] 2 − [u x (τ)] 2 = 1 (B.35)
0 2 x 2
du du
− + = c 2 a 2 . (B.36)
dτ
1.5 Intégrer le système (B.35)-(B.36) pour obtenir u 0 (τ) et u x (τ). On rappelle que
√ du
1+u2 = argsinh u et cosh 2 x − sinh 2 x = 1.
1.6 a) Déduire du résultat précédent que, pour τ > 0, l’équation de la ligne d’univers
L de O est
dτ
ct = X 0 (τ) = a −1 sinh(acτ) (B.37)
x = X x (τ) = a −1 [cosh(acτ) − 1] (B.38)
y = X y (τ) = 0 (B.39)
z = X z (τ) = 0. (B.40)
On rappelle que sinh ′ x = cosh x et cosh ′ x = sinh x.
b) Quel type de courbe obtient-on ? Écrire l’équation de cette courbe en terme de t et x
seulement (c’est-à-dire sans le paramètre τ).
c) Dessiner l’intégralité de la ligne d’univers L (c’est-à-dire pour τ ≤ 0 et τ > 0) dans
un diagramme d’espace-temps basé sur les coordonnées (t, x). On notera ∆ la droite
d’équation ct = x + a−1 .
1.7 Calculer la vitesse v = dx/dt de O par rapport à l’observateur inertiel lié aux
coordonnées (ct, x, y, z). L’exprimer en fonction de t. Discuter les cas limites 0 ≤ t ≪
(ca) −1 et t → +∞.
B.4.2 Décalage spectral et effet Einstein
On considère à présent un photon émis en direction de O par un observateur inertiel
de quadrivitesse ∂0 au point (ctem, xem, 0, 0).
2.1 En raisonnant sur le diagramme d’espace-temps construit plus haut, montrer que
le photon atteindra O si, et seulement si,
ctem < xem + a −1 . (B.41)
En déduire l’existence d’un “horizon” pour l’observateur O.
Si l’on ne se restreint plus aux trajectoires de photons contenues dans le plan (ct, x),
on admettra que l’horizon est constitué par l’hyperplan H d’équation ct = x + a −1 , de