Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

180 Problèmes
B.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler
B.4.1 Mouvement uniformément accéléré
On se place dans l’espace-temps de Minkowski (E , g). Soit (x α ) = (x 0 = ct, x, y, z) un
système de coordonnées inertielles, c’est-à-dire un système de coordonnées où les composantes
du tenseur métrique g prennent la forme standard
gµν dx µ dx ν = −c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 . (B.27)
On désignera par ( ∂α) la base naturelle associée aux coordonnées (x α ) et on notera par
un point le produit scalaire relatif à la métrique g, c’est-à-dire que pour tout couple de
vecteurs (v, w), v · w := g(v, w).
Considérons un observateur O dont la ligne d’univers L est décrite par l’équation
paramétrique
x α = X α (τ), (B.28)
où les X α sont quatre fonctions du temps propre τ de O.
1.1 Donner l’expression des composantes par rapport aux coordonnées (x α ) de la quadrivitesse
u de l’observateur O, en fonction de X α (τ).
1.2 On définit la quadriaccélération de O comme le champ vectoriel le long de L donné
par
a := ∇u u, (B.29)
où ∇ est la connexion associée à la métrique g. Montrer que a est toujours orthogonal à
la quadrivitesse :
u · a = 0. (B.30)
Quel est alors le genre du vecteur a ?
1.3 Que valent les symboles de Christoffel de ∇ par rapport aux coordonnées (x α ) ?
En déduire que les composantes de a par rapport aux coordonnées (x α ) sont
a α = 1 du
c
α
dτ
= 1
c 2
d2X α
. (B.31)
dτ 2
1.4 On suppose que le mouvement de l’observateur O est régi par les lois suivantes :
(i) pour t ≤ 0, O est immobile par rapport aux coordonnées inertielles (x, y, z) et se situe
à l’origine (0, 0, 0) de ces coordonnées ; (ii) pour t > 0, O est accéléré dans la direction x
avec une quadriaccélération de norme constante :
a = a 0 ∂0 + a x ∂x, a x > 0, (B.32)
a 2 := a · a = const, a > 0. (B.33)
On choisit l’origine des temps propres de O de manière à ce que τ = 0 pour t = 0.
a) Que valent le temps propre et la quadrivitesse de O pour t ≤ 0 (on explicitera les
composantes de u) ?