Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

18 Cadre géométrique
Fig. 2.4 – Espaces vectoriels tangents TP (E ) et TQ(E ) en deux points P et Q d’une variété E .
De même, on note ∂1, ∂2 et ∂3 les vecteurs tangents aux trois autres courbes de coordonnées
constantes :
∂α(f) = ∂f
.
∂xα (2.14)
L’équation (2.12) s’écrit alors
v(f) = ˙ X α ∂α(f) avec X˙ α dX
:= α
. (2.15)
dλ
Puisque cette écriture est valable pour tout champ scalaire f, on obtient la décomposition
suivante du vecteur v :
v = ˙ X α ∂α. (2.16)
On déduit de cette équation que l’ensemble des vecteurs en un point P ∈ E (ensemble
des vecteurs tangents à toutes les courbes passant par P ) forme un espace vectoriel de
dimension 4 sur R dont ( ∂0, ∂1, ∂2, ∂3) est une base. Cet espace vectoriel est appelé
espace vectoriel tangent à la variété E au point P et est noté TP (E ) (cf. Fig. 2.4). La
base ( ∂0, ∂1, ∂2, ∂3) est appelée base naturelle associée aux coordonnées (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ).
Comme l’indique l’Eq. (2.16), les quantités ˙ X α sont les composantes du vecteur v par
rapport à cette base vectorielle ; nous les noterons v α :
v = v α ∂α avec v α := ˙ X α (λ) (2.17)
Remarque : La définition ci-dessus fait apparaître les vecteurs sur une variété comme
des opérateurs de dérivation directionnelle (la direction étant celle d’une courbe
donnée). Il s’agit là de la définition intrinsèque des vecteurs en géométrie différentielle.
Dans le cas où la variété est plongée dans R n (comme les variétés représentées
sur la Fig. 2.2), on peut aussi définir les vecteurs tangents de manière extrinsèque,
c’est-à-dire comme des vecteurs usuels de R n . Il est facile de voir que les deux notions
coïncident.