Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

B.3 Trou de ver 179
où b est une constante strictement positive. Contrairement aux coordonnées sphériques
usuelles, le système de coordonnées (x α ) est tel que r peut prendre des valeurs négatives.
Autrement dit, les domaines de variation de chaque coordonnée sont
t ∈ R, r ∈ R, θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π[. (B.20)
(E , g) est un exemple simple d’espace-temps dit de trou de ver.
1 Quelles sont les symétries de cet espace-temps ?
2 Comment se comporte la métrique g lorsque r → +∞ ou r → −∞ ?
3 Dans le plan t = const. et θ = π/2, quelle est la circonférence des cercles r = const. ?
Pour quelle valeur de r cette circonférence est-elle minimale ?
4 Déterminer l’équation des géodésiques lumière radiales, c’est-à-dire des géodésiques
lumière à θ et ϕ fixés. L’espace-temps (E , g) contient-il un horizon des événements ?
5 Les symboles de Christoffel de la métrique g par rapport aux coordonnées (x α ) sont
Γ r θθ = −r, Γ r ϕϕ = −r sin 2 θ (B.21)
r
Γ θ rθ = Γ θ θr =
b2 + r2 , Γθ ϕϕ = − cos θ sin θ (B.22)
Γ ϕ rϕ = Γ ϕ r
ϕr =
b2 ,
+ r2 1
Γϕ
θϕ = Γϕ
ϕθ = .
tan θ
(B.23)
Tous les autres symboles de Christoffel sont nuls. Écrire l’équation qui gouverne les
géodésiques du genre temps purement radiales, c’est-à-dire les géodésiques à θ et ϕ fixés.
On utilisera le temps propre τ comme paramètre.
6 Montrer que la solution générale de l’équation obtenue est
r(τ) = V τ + r0, (B.24)
où V et r0 sont deux constantes. Exprimer les 4 composantes de la 4-vitesse u le long
de ces géodésiques en fonction de V . Quel temps propre faut-il pour se rendre d’un point
r = r0 au point r = −r0 en suivant ces géodésiques ?
7 Montrer que les composantes diagonales du tenseur de Ricci R associé à g sont les
suivantes :
R00 = 0, Rrr = − 2b2
(b 2 + r 2 ) 2 , Rθθ = 0, Rϕϕ = 0. (B.25)
8 En déduire que, pour que g soit solution de l’équation d’Einstein, l’espace-temps doit
contenir une matière dont le tenseur énergie-impulsion vérifie
T00 = − c4
8πG
b 2
(b2 + r2 . (B.26)
) 2
Quelle est la densité d’énergie mesurée par l’observateur statique de coordonnées (r, θ, ϕ)
constantes ? Conclure.