Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

178 Problèmes
avec v 2 1 := v1 · v1 et v 2 2 := v2 · v2. Noter qu’à cet ordre d’approximation, on a fait
n1 = n2 = n et que l’on peut remplacer tous les produits scalaires qui apparaissent dans
(B.13) par des produits scalaires dans l’espace euclidien R 3 usuel. Donner une estimation
numérique de chacun des termes du membre de droite de (B.13) dans le cas où l’émetteur
O1 est un satellite en orbite circulaire de rayon r1 = 4 R⊕ et où le récepteur O2 est une
station au sol, située à l’équateur : r2 = R⊕, v2 = Ω⊕ ∂ϕ. On supposera que l’orientation
station-satellite est telle que n · v1 v1/2 et n · v2 v2/2.
B.2 Équation de Killing
Soit (E , g) un espace-temps qui admet un vecteur de Killing ξ. On désigne par ξ la
forme linéaire associée à ξ par le tenseur métrique g :
ξ : TP (E ) −→ R
v ↦−→ g( ξ, v) = ξ · v.
(B.14)
1 Étant donné un système de coordonnées (x α ) sur E , on désigne par (ξ α ) les composantes
de ξ dans la base naturelle associée à (x α ) et par (ξα) les composantes de ξ dans
la base duale. Montrer que
ξα = gαβξ β , (B.15)
où gαβ sont les composantes de g par rapport aux coordonnées (x α ).
2 On considère une géodésique L de (E , g), du genre temps. On désigne par τ le temps
propre le long de L et par u la 4-vitesse associée à L. Justifier l’expression
u α ∇α(ξβu β ) = 1
c
où ∇ désigne la connexion associée à la métrique g.
d
dτ (ξβu β ), (B.16)
3 Que vaut le membre de droite de (B.16) ? Montrer qu’on obtient alors
4 En déduire que
∇αξβ u α u β = 0. (B.17)
∇αξβ + ∇βξα = 0. (B.18)
Cette équation, qui caractérise les vecteurs de Killing, est appelée équation de Killing.
B.3 Trou de ver
On considère un espace-temps (E , g) couvert par un système de coordonnées (x α ) =
(ct, r, θ, ϕ) tel que
gαβdx α dx β = −c 2 dt 2 + dr 2 + (b 2 + r 2 )(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ), (B.19)