Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

où l’on a posé
B.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre 177
K := −
∂0 · p = − 1 + 2 Φ
c2
p 0 . (B.8)
7 On rappelle que l’impulsion du photon mesuré par l’observateur statique S est donnée
par
P = p − E
c u∗. (B.9)
On pose P =: P n, avec P > 0 et n · n = 1 (vecteur unitaire par rapport à la métrique
g). Que peut on dire du vecteur n vis-à-vis du vecteur u∗ ? Montrer que
P = K 1 − Φ
c2
, (B.10)
si bien que l’on peut écrire la 4-impulsion du photon sous la forme
p = K 1 − Φ
c2
(u∗ + n) . (B.11)
8 Revenons à l’observateur mobile O considéré aux questions 1.4 et 1.5. En utilisant
(B.5) et (B.11), montrer que l’énergie du photon mesurée par O est
E = cKΓ 1 − Φ
c2
1 − 1
c
n · v . (B.12)
9 On considère à présent deux observateurs mobiles : l’un, O1, qui émet le photon,
au point A1 de coordonnées (t1, r1, θ1, ϕ1), et l’autre, O2, qui le reçoit au point A2 de
coordonnées (t2, r2, θ2, ϕ2). Que peut on dire de la quantité K le long de la trajectoire du
photon entre A1 et A2 ? En déduire la relation entre la fréquence ν2 du photon mesurée
par le récepteur O2 et la fréquence ν1 mesurée par l’émetteur O1. On notera Φ1, Γ1, v1
et n1 (resp. Φ2, Γ2, v2 et n2) les valeurs de Φ, Γ, v et n en A1 (resp. A2). On rappelle
que la fréquence d’un photon est reliée à son énergie par la relation E = hν, où h est la
constante de Planck.
10 Effectuer les limites suivantes :
a) v1 = 0 et v2 = 0,
b) Φ1 = Φ2 = 0 et v2 = 0,
c) même chose que b) mais avec en plus v1 = v1n1,
et commenter.
11 Montrer qu’un développement limité de la formule obtenue à la question 1.9, au
premier ordre en |Φ|/c2 et au second ordre en |v1|/c et |v2|/c, conduit à
ν2
1 +
ν1
1
c n · (v1 − v2) + 1
c2
Φ1 − Φ2 + 1
2 (v2 2 − v 2 1) + (n · v1) 2
− (n · v1)(n · v2) ,
(B.13)