Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

176 Problèmes
l’ordre de grandeur de Φ(r)/c 2 pour r voisin de R⊕ ? On donne G = 6.67×10 −11 m 3 kg −1 s −2 ,
c = 3.0 × 10 8 m s −1 , M = 6.0 × 10 24 kg et R⊕ = 6.4 × 10 6 m.
2 Quelles sont les symétries de l’espace-temps décrit par la métrique (B.1) ?
3 On appelle observateurs statiques les observateurs S de coordonnées r, θ et ϕ constantes.
Ces observateurs se réduisent à des observateurs galiléens à la limite newtonienne. En
particulier, ils ne tournent pas avec la Terre. Montrer qu’au premier ordre en |Φ|/c2 , la
4-vitesse des observateurs statiques est de la forme
u∗ = 1 − Φ
c2
∂0, (B.2)
où ∂0 est le premier vecteur de la base naturelle associée aux coordonnées (x 0 = ct, r, θ, ϕ) :
∂0 = c −1 ∂t.
4 Considérons un observateur O en mouvement quelconque (r, θ et ϕ variables) au voisinage
de la Terre (dans les applications ultérieures, ce sera tout aussi bien un observateur
à bord d’une fusée ou d’un satellite, qu’un observateur au sol). Appelons u sa 4-vitesse
et introduisons le facteur de Lorentz Γ entre O et l’observateur statique coïncident (c’està-dire
l’observateur S se trouvant au même point d’espace-temps que O). Quelle est la
relation entre Γ et les 4-vitesses u et u∗ ? Montrer qu’au premier ordre en |Φ|/c 2 , la
composante u 0 de u vaut
u 0
= Γ 1 − Φ
c2
. (B.3)
5 On définit la 3-vitesse de O par rapport à l’observateur statique S par
v := dr
∂r +
dτ∗
dθ
∂θ +
dτ∗
dϕ
∂ϕ, (B.4)
dτ∗
où τ∗ est le temps propre de S. Dire pourquoi v est un vecteur orthogonal à u∗ et montrer
que l’on a
u = Γ u∗ + 1
c v
. (B.5)
[Indication : on pourra écrire dr/dτ∗ = dr/dτ × dτ/dτ∗, (idem pour dθ/dτ∗ et dϕ/dτ∗) où
τ est le temps propre de O, puis dτ/dτ∗ = dτ/dt × dt/dτ∗ et utiliser (B.2) et (B.3)]. En
déduire que
Γ = 1 − 1
−1/2 v · v , (B.6)
c2 où le produit scalaire v · v est celui donné par le tenseur métrique g. Commenter.
6 On considère à présent un photon, décrit par sa 4-impulsion p. Montrer que l’énergie
du photon mesurée par un observateur statique S coïncident est
E = cK 1 − Φ
c2
, (B.7)