Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

Annexe B
Problèmes
Sommaire
version 2007-2008
B.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre . . . . . . . . . . . 175
B.2 Équation de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.3 Trou de ver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler . . . . . . . . . . . 180
B.5 Expérience de Hafele & Keating . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
B.6 Quadriaccélération et dérivée de Fermi-Walker . . . . . . . . 186
Ces problèmes ont été donnés comme sujets d’examen pour le cours CT7 en 2006
(problèmes B.1, B.2 et B.3), en 2007 (problème B.4) et en 2008 (problèmes B.5 et B.6).
Les solutions sont présentées dans l’annexe C.
B.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre
On admettra qu’il existe un système de coordonnées de type sphérique x α = (ct, r, θ, ϕ)
tel que (i) r = 0 soit le centre de la Terre, (ii) par rapport à ces coordonnées, la Terre
tourne autour de l’axe θ = 0 à la vitesse angulaire dϕ/dt = Ω⊕ = 2π rad/23 h 56 min et
(iii) les composantes du tenseur métrique g dans ce système de coordonnées prennent la
forme suivante :
gαβdx α dx β = −
1 + 2 Φ(r)
c2
c 2 dt 2
+ 1 − 2 Φ(r)
c2
dr2 2 2 2 2 2
+ r dθ + r sin θdϕ , (B.1)
où Φ(r) désigne le potentiel gravitationnel newtonien de la Terre, le champ gravitationnel
newtonien étant donné par g = − ∇Φ. On supposera la Terre sphérique et on désignera
par M sa masse et par R⊕ son rayon.
1 Montrer que pour r ≥ R⊕, (B.1) constitue un cas limite de la métrique de Schwarzschild
[on pourra utiliser l’expression de cette dernière en coordonnées isotropes]. Quel est