Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

More documents

Recommendations

Info

172 Relativité et GPS Il vient alors avec − Φ c 2 + v2 3 = 2c2 2 GM⊕ c 2 rsat + 1 c2 δΦ + 1 2 δv2 (A.35) 3 GM⊕ 2 c2 = 2.504 × 10 rsat −10 . (A.36) L’Eq. (A.32) donne alors ti = 1 + 3 GM⊕ 2 c2 τi + rsat 1 c2 τi δΦ + 0 1 2 δv2 dτ . (A.37) Le terme en δΦ+1/2δv 2 contient par exemple les corrections à apporter pour tenir compte de l’excentricité des orbites (cf. Ashby 2003 [20] pour plus de détails). Propagation du signal radio Considérons à présent la propagation du signal radio depuis le satellite jusqu’à l’observateur au sol. Cette propagation se fait le long d’une géodésique lumière, qui vérifie gαβdxαdxβ = 0, c’est-à-dire 1 + 2 Φ c2 c 2 dt 2 = 1 − 2 Φ c2 fij dx i dx j , (A.38) d’où (au premier ordre en Φ/c 2 ) c dt = ± 1 − 2 Φ c2 dr, (A.39) dr étant l’accroissement élémentaire du vecteur position (A.27) et la norme étant prise à l’aide de la métrique plate f : dr = fij dx i dx j . Au niveau d’approximation présent, Φ peut être remplacé par le terme monopolaire −GM⊕/r. L’équation (A.39) s’intègre alors en (cf. Blanchet et al. 2001 [22] pour les détails) t∗ − ti = 1 c ri − r∗ + 2GM⊕ c3 ri + r∗ + ri − r∗ ln , (A.40) ri + r∗ − ri − r∗ où (ti, ri) sont les coordonnées GCRS du satellite no. i et (t∗, r∗) les coordonnées GCRS de l’observateur au sol. Le terme en logarithme dans l’équation ci-dessus traduit l’effet Shapiro (ou retard de la lumière) (cf. § 3.6.5). Son amplitude est de l’ordre de 2GM⊕ c 3 3 × 10−11 s, (A.41) ce qui est cent fois plus petit que les 3 ns spécifiés pour le GPS [Eq. (A.2)]. On peut donc écrire (A.40) sous la forme t∗ − ti = 1 c ri − r∗ . (A.42) Il s’agit de la même expression qu’en espace plat [Eq. (A.1)].
Bilan A.3 Traitement relativiste 173 Le problème de la détermination de la position (t∗, r∗) de l’observateur au sol se ramène à la résolution du système (A.42) où i ∈ {1, 2, 3, 4}, ti se déduit du temps propre τi fourni par l’horloge atomique du satellite no. i suivant l’équation (A.32) ou (A.37) et ri = ri(ti) provient des éphémérides du satellite. A.3.4 Mise en œuvre effective du système GPS La coordonnée temporelle utilisée par le système GPS n’est pas le temps-coordonnée géocentrique t employé ci-dessus, mais le temps universel coordonné maintenu par l’U.S. Naval Observatory : UTC(USNO). Ce dernier est une réalisation du temps terrestre T introduit au § A.3.2 : il n’en diffère que par une constante additive et évidemment par l’imprécision des horloges atomiques de l’U.S. Naval Observatory. Nous confondrons ici T et le temps UTC(USNO). T est relié au temps-coordonnée géocentrique t par l’Eq. (A.24). On déduit alors de (A.37) la relation entre le temps propre τi indiqué par l’horloge atomique à bord du satellite no. i et le temps terrestre correspondant Ti : Ti = 1 + U0 c2 × 1 + 3 τi + 2 1 c2 τi δΦ + 1 2 δv2 dτ , (A.43) GM⊕ c 2 rsat c’est-à-dire, compte tenu de la petitesse de U0/c2 , Ti = 1 + U0 3 + τi + c2 2 1 c2 GM⊕ c 2 rsat 0 τi 0 δΦ + 1 2 δv2 Le terme en facteur de τi est constant. D’après (A.23) et (A.36), il vaut 1 + U0 c 3 + 2 2 GM⊕ c 2 rsat dτ. (A.44) = 1 − 4.465 × 10 −10 . (A.45) La fréquence propre des horloges atomiques au césium embarquées à bord des satellites GPS est ν0 = 10.23 MHz. Cette fréquence est corrigée par le facteur ci-dessus avant l’émission du signal radio vers la Terre. Ce dernier est en effet émis sur deux fréquences porteuses : ν1 = 154 ν ′ 0 1.57 GHz et ν2 = 120 ν ′ 0 1.23 GHz, (A.46) où ν ′ 0 = 1 − 4.465 × 10 −10 ν0. (A.47) En terme du temps terrestre T , le système à résoudre se déduit de (A.42) et (A.24) : T∗ − Ti = 1 + U0 c2 1 c ri − r∗. (A.48) Comme ri − r∗|U0|/c 2 ∼ 3R⊕|U0|/c 2 ∼ 1 cm est bien plus petit que le niveau de précision requis (1 m), on peut écrire T∗ − Ti 1 c ri − r∗. (A.49) C’est le système d’équations utilisé dans l’implantation actuelle du système GPS.
Page 1:
Observatoire de Paris, Universités
Page 4 and 5:
4 TABLE DES MATIÈRES 2.6.2 Équati
Page 6 and 7:
6 TABLE DES MATIÈRES 6.4.1 Équati
Page 8 and 9:
8 TABLE DES MATIÈRES
Page 10 and 11:
10 Introduction purement newtonienn
Page 12 and 13:
12 Introduction
Page 14 and 15:
14 Cadre géométrique Fig. 2.1 - V
Page 16 and 17:
16 Cadre géométrique 2.2.3 Courbe
Page 18 and 19:
18 Cadre géométrique Fig. 2.4 - E
Page 20 and 21:
20 Cadre géométrique x e x z e z
Page 22 and 23:
22 Cadre géométrique Remarque : L
Page 24 and 25:
24 Cadre géométrique • de signa
Page 26 and 27:
26 Cadre géométrique 2.3.3 Bases
Page 28 and 29:
28 Cadre géométrique Fig. 2.6 - 4
Page 30 and 31:
30 Cadre géométrique que l’on d
Page 32 and 33:
32 Cadre géométrique de signature
Page 34 and 35:
34 Cadre géométrique Fig. 2.10 -
Page 36 and 37:
36 Cadre géométrique Rappelons qu
Page 38 and 39:
Page 40 and 41:
40 Cadre géométrique t 2 t’ 2 t
Page 42 and 43:
Page 44 and 45:
Page 46 and 47:
46 Cadre géométrique Les lignes d
Page 48 and 49:
48 Cadre géométrique où x0 0, x1
Page 50 and 51:
50 Cadre géométrique
Page 52 and 53:
52 Champ gravitationnel à symétri
Page 54 and 55:
Page 56 and 57:
Page 58 and 59:
Page 60 and 61:
Page 62 and 63:
Page 64 and 65:
Page 66 and 67:
Page 68 and 69:
Page 70 and 71:
Page 72 and 73:
Page 74 and 75:
Page 76 and 77:
Page 78 and 79:
Page 80 and 81:
Page 82 and 83:
Page 84 and 85:
Page 86 and 87:
Page 88 and 89:
Page 90 and 91:
90 Équation d’Einstein 4.2 Déri
Page 92 and 93:
92 Équation d’Einstein 4.2.2 Dé
Page 94 and 95:
94 Équation d’Einstein Remarque
Page 96 and 97:
96 Équation d’Einstein formes li
Page 98 and 99:
98 Équation d’Einstein les géod
Page 100 and 101:
100 Équation d’Einstein On dit a
Page 102 and 103:
102 Équation d’Einstein Si on ut
Page 104 and 105:
104 Équation d’Einstein Fig. 4.2
Page 106 and 107:
106 Équation d’Einstein 4.3.2 Pr
Page 108 and 109:
108 Équation d’Einstein • La c
Page 110 and 111:
110 Équation d’Einstein On retro
Page 112 and 113:
112 Équation d’Einstein On peut
Page 114 and 115:
114 Équation d’Einstein où K es
Page 116 and 117:
116 Équation d’Einstein l’Eq.
Page 118 and 119:
118 Équation d’Einstein
Page 120 and 121:
120 Trous noirs Laplace à la fin d
Page 122 and 123: 122 Trous noirs Fig. 5.1 - Espace-t
Page 124 and 125: 124 Trous noirs La première soluti
Page 126 and 127: 126 Trous noirs Fig. 5.3 - Diagramm
Page 128 and 129: 128 Trous noirs 5.5.2 Théorème d
Page 130 and 131: 130 Trous noirs Fig. 5.4. Il est à
Page 132 and 133: 132 Trous noirs Fig. 5.5 - Satellit
Page 134 and 135: 134 Trous noirs On retombe donc dan
Page 136 and 137: 136 Trous noirs
Page 138 and 139: 138 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 140 and 141: 140 Ondes gravitationnelles Ainsi,
Page 142 and 143: 142 Ondes gravitationnelles où l
Page 144 and 145: 144 Ondes gravitationnelles On peut
Page 146 and 147: 146 Ondes gravitationnelles Chercho
Page 148 and 149: 148 Ondes gravitationnelles coordon
Page 150 and 151: 150 Ondes gravitationnelles Fig. 6.
Page 152 and 153: 152 Ondes gravitationnelles Remarqu
Page 154 and 155: 154 Ondes gravitationnelles Puisque
Page 156 and 157: 156 Ondes gravitationnelles On reco
Page 158 and 159: 158 Ondes gravitationnelles Si M es
Page 160 and 161: 160 Ondes gravitationnelles
Page 162 and 163: 162 Solutions cosmologiques 7.2 Sol
Page 164 and 165: 164 Solutions cosmologiques dans l
Page 166 and 167: 166 Relativité et GPS Fig. A.1 - C
Page 168 and 169: 168 Relativité et GPS donné par g
Page 170 and 171: 170 Relativité et GPS où la const
Page 174 and 175: 174 Relativité et GPS
Page 176 and 177: 176 Problèmes l’ordre de grandeu
Page 178 and 179: 178 Problèmes avec v 2 1 := v1 ·
Page 180 and 181: 180 Problèmes B.4 Observateur acc
Page 182 and 183: 182 Problèmes sorte que l’inters
Page 184 and 185: 184 Problèmes 3.8 Calculer les sym
Page 186 and 187: 186 Problèmes B.6 Quadriaccéléra
Page 188 and 189: 188 Problèmes
Page 190 and 191: 190 Solutions des problèmes C.4 Ob
Page 192 and 193: 192 Solutions des problèmes a c t
Page 194 and 195: 194 Solutions des problèmes sont c
Page 196 and 197: 196 Solutions des problèmes − co
Page 198 and 199: 198 Solutions des problèmes d’o
Page 200 and 201: 200 Solutions des problèmes Au vu
Page 202 and 203: 202 Solutions des problèmes qui co
Page 204 and 205: 204 Solutions des problèmes La dé
Page 206 and 207: 206 BIBLIOGRAPHIE [13] N. Straumann
Page 208 and 209: Index (GCRS), 168 (TAI), 170 (TT),
Page 210: 210 INDEX paramètres affines, 49 p
show all

Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?