Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

172 Relativité et GPS
Il vient alors
avec
− Φ
c
2 + v2
3
=
2c2 2
GM⊕
c 2 rsat
+ 1
c2
δΦ + 1
2 δv2
(A.35)
3 GM⊕
2 c2 = 2.504 × 10
rsat
−10 . (A.36)
L’Eq. (A.32) donne alors
ti = 1 + 3 GM⊕
2 c2
τi +
rsat
1
c2 τi
δΦ +
0
1
2 δv2
dτ . (A.37)
Le terme en δΦ+1/2δv 2 contient par exemple les corrections à apporter pour tenir compte
de l’excentricité des orbites (cf. Ashby 2003 [20] pour plus de détails).
Propagation du signal radio
Considérons à présent la propagation du signal radio depuis le satellite jusqu’à l’observateur
au sol. Cette propagation se fait le long d’une géodésique lumière, qui vérifie
gαβdxαdxβ = 0, c’est-à-dire
1 + 2 Φ
c2
c 2 dt 2
= 1 − 2 Φ
c2
fij dx i dx j , (A.38)
d’où (au premier ordre en Φ/c 2 )
c dt = ±
1 − 2 Φ
c2
dr, (A.39)
dr étant l’accroissement élémentaire du vecteur position (A.27) et la norme étant prise à
l’aide de la métrique plate f : dr = fij dx i dx j . Au niveau d’approximation présent, Φ
peut être remplacé par le terme monopolaire −GM⊕/r. L’équation (A.39) s’intègre alors
en (cf. Blanchet et al. 2001 [22] pour les détails)
t∗ − ti = 1
c ri − r∗ + 2GM⊕
c3
ri + r∗ + ri − r∗
ln
, (A.40)
ri + r∗ − ri − r∗
où (ti, ri) sont les coordonnées GCRS du satellite no. i et (t∗, r∗) les coordonnées GCRS
de l’observateur au sol. Le terme en logarithme dans l’équation ci-dessus traduit l’effet
Shapiro (ou retard de la lumière) (cf. § 3.6.5). Son amplitude est de l’ordre de
2GM⊕
c 3 3 × 10−11 s, (A.41)
ce qui est cent fois plus petit que les 3 ns spécifiés pour le GPS [Eq. (A.2)]. On peut donc
écrire (A.40) sous la forme
t∗ − ti = 1
c ri − r∗ . (A.42)
Il s’agit de la même expression qu’en espace plat [Eq. (A.1)].