Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

A.3 Traitement relativiste 171
et le facteur conforme vaut Ψ 4 = 1 − 2Φ/c 2 . Dans l’hypersurface Σt R 3 , considérons le
“vecteur position”
r = r ∂r = x ∂x + y ∂y + z ∂z. (A.27)
On définit la vitesse-coordonnée du satellite comme
v = dr
dt = ˙rs(t) ∂r + ˙ θs(t) ∂θ + ˙ϕs(t) ∂ϕ. (A.28)
L’horloge à bord du satellite fournit le temps propre τ, qui est tel que
dτ = 1
−gαβdx
c
αdxβ = 1
1 + 2
c
Φ
c2
c2dt2
− 1 − 2 Φ
c2
fij dxidxj =
1 + 2 Φ 1
−
c2 c2
1 − 2 Φ
c2
dx
fij
i dx
dt
j
dt dt
=
1 + 2 Φ 1
− v · v dt
c2 c2 (A.29)
Puisque Φ/c 2 ∼ 10 −10 et v · v/c 2 ∼ 10 −10 [cf. (A.3)], on peut sans problème effectuer un
développement limité de la racine carrée et écrire
avec
dt =
1 − Φ v2
+
c2 2c2
dτ . (A.30)
v 2 := v · v. (A.31)
Notons qu’à ce niveau de précision, on peut prendre le produit scalaire v · v tout aussi
bien avec la métrique g qu’avec la métrique plate f.
Ainsi le temps-coordonnée géocentrique ti au niveau du satellite no. i est déduit de la
lecture τi de l’horloge atomique embarquée par
τi
ti = 1 − Φ(rs, θs, ϕs)
c2 + v2
2c2
dτ , (A.32)
0
où le potentiel Φ(r, θ, ϕ) est donné par (A.14). Cette formule combine les deux effets
mentionnés au § A.2 : l’effet Einstein (terme en Φ/c 2 ) et la dilatation des temps de la
relativité restreinte (terme en 1/2 v 2 /c 2 ).
Puisque les orbites des satellites GPS sont à peu près circulaires, écrivons Φ et v 2
comme leurs valeurs pour des orbites circulaires (de rayon rsat = 4.16 R⊕) plus un petit
écart :
Φ = − GM⊕
rsat
v 2 = GM⊕
rsat
+ δΦ avec |δΦ| ≪ |Φ|, (A.33)
+ δv 2
avec |δv 2 | ≪ |v 2 |. (A.34)