Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

170 Relativité et GPS
où la constante U0 est celle définissant le géoïde : U0 = U(r0, θ0, ϕ0). En prenant θ0 = π/2
(équateur), r0 = R⊕ (rayon équatorial de la Terre), on obtient 2
U0
c 2 = −6.969 × 10−10 . (A.23)
Puisque U0 est une constante, (A.22) s’intègre immédiatement en
T = 1 + U0
c2
t + T0 , (A.24)
où T0 est une constante. La formule (A.24) montre que le temps terrestre T et le tempscoordonnée
géocentrique t ne diffèrent que d’un facteur constant, indépendant de la position
sur le globe.
Puisque le temps terrestre est le temps propre des observateurs fixes à la surface de la
Terre, il s’agit d’une quantité mesurable. On appelle alors temps atomique international
(TAI) la mesure du temps terrestre qui combine les données de plusieurs centaines d’horloges
atomiques réparties à la surface du globe. Le TAI est donc essentiellement la même
chose que le TT. Ce serait même exactement la même chose si les horloges atomiques
utilisées étaient infiniment précises. On dit que TAI est une réalisation de TT. Il ne s’agit
pas de la réalisation la meilleure car le TAI est évalué en “temps-réel” chaque mois et n’est
pas corrigé a posteriori. Il existe d’autres réalisations de TT, comme celle effectuée par
le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), qui tiennent compte des erreurs
découvertes dans les données des horloges atomiques après leur utilisation pour TAI.
A.3.3 Le GPS comme système de détermination des coordonnées
GCRS
Relation entre le temps propre d’un satellite et le temps-coordonnée géocentrique
L’équation du mouvement d’un satellite GPS par rapport aux coordonnées GCRS
(ct, r, θ, ϕ) est donnée par
r = rs(t), θ = θs(t), ϕ = ϕs(t). (A.25)
On suppose connues avec suffisamment de précision les fonctions rs(t), θs(t) et ϕs(t)
(éphémérides du satellites). En première approximation, les orbites sont circulaires, si
bien que rs(t) = const = 4.16 R⊕.
Considérons l’hypersurface Σt définie par t = const. En tant que variété, Σt est
identique (homéomorphe) à R 3 . D’après (A.6), la métrique induite par g dans Σt est
conformément plate, c’est-à-dire qu’elle s’écrit gij dx i dx j avec gij = Ψ 4 fij où fij est la
métrique plate à trois dimensions (métrique euclidienne) :
fij dx i dx j = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdϕ 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2
(A.26)
2 En fait, suivant une résolution adoptée lors de la la 24ème assemblée générale de l’Union Astronomique
Internationale en 2000 (cf. Soffel et al. 2003 [36]), U0 est défini comme la constante U0 = −6.969290134×
10 −10 c 2 . Cette convention permet de s’affranchir des incertitudes quant à la détermination du géoïde.