Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

2.2 L’espace-temps relativiste 17
Fig. 2.3 – Vecteur tangent à une courbe dans le plan euclidien R 2 .
d’où la dérivée de f le long de C :
df
dλ
C
= ∂f
∂x ˙ X + ∂f
∂y ˙ Y
= v · ∇f (2.10)
On peut donc voir le vecteur tangent v comme l’opérateur qui tout champ scalaire f fait
correspondre la dérivée directionnelle donnée par (2.10). C’est cet aspect que nous allons
utiliser pour définir les vecteurs sur les variétés.
Étant donnée une courbe C sur une variété E et un paramétrage P(λ) de C , on
définit le vecteur tangent v associé au paramétrage P en un point P = P(λ) comme
l’opérateur qui à tout champ scalaire f : E → R différentiable au voisinage de P fait
correspondre la dérivée df/dλ de f le long de la courbe :
v(f) = df
. (2.11)
dλ
Si l’on se donne l’équation paramétrique de C dans un système de coordonnées (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 )
de E , l’équation (2.11) devient
v(f) =
3
α=0
∂f
∂x α
dX α
dλ
C
= ∂f
∂x α
dXα . (2.12)
dλ
Dans l’équation ci-dessus, la dernière égalité utilise la convention de sommation d’Einstein
sur les indices répétés. On l’utilisera systématiquement par la suite, ce qui évitera d’écrire
les signes .
Au vu de la définition (2.11), des vecteurs tangents privilégiés sont les vecteurs tangents
aux courbes de coordonnées constantes : par exemple, la courbe (x 1 = const., x 2 = const.,
x 3 = const.) paramétrée par λ = x 0 Nous noterons ∂0 le vecteur tangent associé à cette
courbe :
∂0(f) = df
dλ
x α =const
α=0
= ∂f
. (2.13)
∂x0