Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

ment de la Terre) ;
A.3 Traitement relativiste 169
Q⊕ = J2M⊕R 2 ⊕, J2 = 1.08 × 10 −3 . (A.15)
Il faut tenir compte du terme quadrupolaire car au niveau de la surface de la Terre
GQ⊕
c 2 R 3 ⊕
GM⊕
= J2
c2R⊕ ∼ 7 × 10 −13 , (A.16)
ce qui, en terme de δt/t, est légèrement supérieur au niveau de stabilité des horloges
atomiques. Par contre, les termes suivants du développement multipolaire de Φ⊕ ne sont
pas nécessaires pour le niveau de précision requis par le GPS.
Remarque : Si l’on tronque le potentiel Φ⊕ au niveau monopolaire seulement, la métrique
telle que donnée par (A.6) n’est alors pas autre chose qu’un développement limité
au premier ordre en GM⊕/(c 2 r) de la métrique de Schwarzschild correspondant à la
masse M⊕ (cf. l’expression (3.18) de cette dernière en coordonnées isotropes).
A.3.2 Temps terrestre et temps atomique international
Dans le système de référence céleste géocentrique (ct, r, θ, ϕ), l’équation du mouvement
d’un observateur fixe à la surface de la Terre, à la colatitude θ0, est
r = r0, θ = θ0, ϕ = ϕ0 + Ω⊕t, (A.17)
avec Ω⊕ donné par (A.7). Le temps propre T de cet observateur est appelé temps terrestre
(TT). Il vérifie
dT = 1
−gαβdx
c
αdxβ , (A.18)
soit avec la forme (A.6) de gαβ et les dxα correspondant à (A.17) : dr = 0, dθ = 0 et
dϕ = Ω⊕dt, dT = 1 + 2 Φ
c2
dt2 − 1
c2
1 − 2 Φ
c2
r2 0 sin2 θ0(Ω⊕dt) 2 . (A.19)
Numériquement, Φ/c2 7 × 10−10 et r0Ω⊕/c 1.5 × 10−6 , si bien que l’on peut écrire
dT 1 + 1
c2
Φ − 1
2 (Ω⊕r0 sin θ0) 2
dt. (A.20)
Remarquons qu’au niveau newtonien, −1/2 (Ω⊕r0 sin θ0) 2 n’est pas autre chose que le
potentiel centrifuge dans le référentiel tournant avec la Terre. Or la surface de la Terre
est une équipotentielle de
U(r, θ, ϕ) := Φ(r, θ, ϕ) − 1
2 (Ω⊕r sin θ) 2 . (A.21)
Cette équipotentielle est appelée géoïde. Ainsi, à la surface de la Terre, on peut écrire
(A.20) sous la forme
dT = 1 + U0
c2
dt, (A.22)