Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

168 Relativité et GPS
donné par g = − ∇Φ. Sans perte de généralité, on choisit les coordonnées x α = (ct, r, θ, ϕ)
de manière à ce que r = 0 soit le centre de la Terre. Par ailleurs, les coordonnées (x α ) sont
non tournantes : à la limite Φ = 0, elles correspondent à un repère inertiel. Autrement
dit, par rapport aux coordonnées (x α ), la Terre tourne autour de l’axe θ = 0 à la vitesse
angulaire dϕ/dt = Ω⊕, avec
Ω⊕ = 2π rad / 23 h 56 min = 7.29 × 10 −5 rad s −1 . (A.7)
Les coordonnées (ct, r, θ, ϕ) constituent ce que l’on appelle le système de référence céleste
géocentrique (GCRS) (pour Geocentric Celestial Reference System). Ce dernier a été défini
par une résolution de la 24ème assemblée générale de l’Union Astronomique Internationale
qui s’est tenue en 2000 (cf. Soffel et al. 2003 [36] et Petit & Wolf 2005 [31]). En fait (A.6)
n’est autre qu’un développement tronqué à l’ordre 1/c 2 de l’élément de longueur donné à
l’ordre 1/c 4 pour g00, 1/c 3 pour g0i et 1/c 2 pour gij (i, j ∈ {1, 2, 3}) par la résolution de
l’UAI [36]. La coordonnée t du système (x α ) est appelée temps-coordonnée géocentrique
(TCG).
Le potentiel gravitationnel Φ au voisinage de la Terre est
Φ = Φ⊕ + Φ⊙ + Φautres, (A.8)
où Φ⊕ est le potentiel du champ gravitationnel engendré par la Terre, Φ⊙ celui engendré
par le Soleil et Φautres celui dû à tous les autres corps du système solaire. Au voisinage de
la Terre, en notant d = 1.5 × 10 11 m la distance Terre-Soleil,
|Φ⊕|
c2 GM⊕
∼
c2 ∼ 7 × 10
R⊕
−10 , (A.9)
|Φ⊙|
c2 GM⊙
∼
c2d ∼ 1 × 10−8 , (A.10)
|Φautres| ≪ |Φ⊕|. (A.11)
Ainsi |Φ⊙| est 14 fois plus grand que |Φ⊕|. Cependant, c’est la différence des valeurs de Φ
en deux points qui donne l’effet Einstein [cf. Eq. (3.65)]. Or le gradient de Φ⊕ au voisinage
de la Terre est beaucoup plus important que celui de Φ⊙ : l’échelle de variation de Φ⊙ est
|δΦ⊙|
c 2
GM⊙
∼
c2 GM⊙
−
d c2 (d + R⊕)
alors que celle de variation de Φ⊕ est
∼ GM⊙
c 2 d
R⊕
d
5×10−5 ∼ 5 × 10 −13
(A.12)
|δΦ⊕|
c2 En conséquence, on peut considérer Φ⊙ comme une simple constante additive dans le
potentiel Φ. En renormalisant la valeur de ce dernier à l’infini, on peut alors écrire
|Φ⊕|
∼
c2 ∼ 7 × 10−10 . (A.13)
Φ = Φ⊕ = − GM⊕
r + GQ⊕P2(cos θ)
r 3 , (A.14)
où l’on a tronqué le potentiel gravitationnel de la Terre aux deux premiers termes de son
développement multipolaire 1 : le monopôle M⊕ et le quadrupôle Q⊕ (issu de l’aplatisse-
1 P2 est le deuxième polynôme de Legendre : P2(cos θ) = (3 cos 2 θ − 1)/2