Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

est
A.3 Traitement relativiste 167
v =
GM⊕
rsat
3.87 km s −1
(A.3)
ce qui donne v/c 1.3 × 10 −5 et un facteur de Lorentz Γ = 1 + 8.3 × 10 −11 . En
vertu de la formule (2.98), il en résulte
δt
t = Γ − 1 8.3 × 10−11 , (A.4)
ce qui est trois ordres de grandeur plus grand que les défauts de stabilité des horloges
atomiques : si aucune correction n’est appliquée, on atteint δt = 3 ns en une demiminute
!
Remarque : La dilatation des temps mentionnée ci-dessus constitue l’ effet Doppler
du second ordre, ou effet Doppler transverse. L’effet Doppler du premier
ordre, en v/c, avec d’après (A.3), v/c ∼ 1.3×10 −5 , n’affecte que la fréquence du
signal et non pas le contenu du message délivré (date et position de l’émetteur).
• l’effet Einstein : les satellites sont environ quatre fois plus élevés dans le potentiel
gravitationnel de la Terre que les observateurs au sol. Les temps propres issus de
leurs horloges, une fois transmis vers le sol, sont alors décalés par rapport à des
horloges au sol, en vertu de l’effet Einstein étudié au § 3.4.3. Ce décalage est donné
par la formule (3.77) :
δt
t
GM⊕
c 2
1
R⊕
− 1
5.3 × 10
rsat
−10 . (A.5)
Cet effet est donc encore plus marqué que le précédent : si aucune correction n’est
appliquée, on atteint δt = 3 ns en 6 secondes ! En un jour, la dérive temporelle
atteindrait δt = 46 µs, ce qui correspondrait à une erreur de positionnement de
14 km et rendrait le système GPS inopérant.
La discussion ci-dessus montre qu’il est nécessaire de traiter le système GPS dans un
cadre relativiste. C’est ce que nous allons esquisser dans ce qui suit.
A.3 Traitement relativiste
A.3.1 Système de référence céleste géocentrique (GCRS)
Nous avons vu au § 4.5.2 qu’au voisinage des corps faiblement relativistes, comme la
Terre, la métrique g solution de l’équation d’Einstein est telle qu’il existe un système de
coordonnées x α = (ct, r, θ, ϕ) où ses composantes s’écrivent [cf. Eq. (4.139)]
gαβdx α dx β
= − 1 + 2 Φ
c2
c 2 dt 2
+ 1 − 2 Φ
c2
dr2 2 2 2 2 2
+ r dθ + r sin θdϕ , (A.6)
Φ désignant le potentiel gravitationnel newtonien au voisinage de la Terre. La convention
de signe sur Φ est choisie de manière à ce que le champ gravitationnel newtonien soit