Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

166 Relativité et GPS
Fig. A.1 – Configuration du système GPS : les 24 satellites sont répartis 4 par 4 sur
6 orbites circulaires de rayon r = 26561 km = 4.16 R⊕ (période orbitale T = 12 h) et inclinées
chacune de 55 degrés par rapport au plan équatorial [source : Peter H. Dana, The
Geographer’s Craft Project, Department of Geography, The University of Colorado at Boulder,
http://www.colorado.edu/geography/gcraft/notes/gps/gps f.html].
satellites peut alors déduire sa position. Par exemple, si l’espace était plat, l’observateur
qui recevrait au même instant les signaux de quatre satellites déduirait sa position r en
résolvant le système de 4 équations :
r − ri − c(t − ti) = 0, i ∈ {1, 2, 3, 4}, (A.1)
où (ti, ri) est la date et position d’émission encodées dans le signal du satellite no. i. Les 4
inconnues sont les 3 composantes du vecteur position r et la date t de réception simultanée
des quatre signaux. Si l’observateur était muni d’une horloge atomique synchronisée avec
celles des satellites, elle fournirait t et 3 satellites seraient alors suffisants pour déterminer
r.
Pour avoir une précision de l’ordre du mètre sur r, il faut une précision sur les dates
ti de l’ordre de
1 m
δt ∼
c ∼ 3 × 10−9 s = 3 ns. (A.2)
La stabilité des horloges atomiques au césium est telle que δt/t ∼ < 10 −13 , c’est-à-dire que
l’on atteint δt = 3 ns en t ∼ 10 h environ. Il suffit alors de régler l’horloge quelques fois
par jour, grâce à des signaux envoyés depuis le sol, pour atteindre la précision requise.
Par contre, deux effets relativistes conduisent à un δt/t bien supérieur à celui intrinsèque
aux horloges atomiques :
• la dilatation des temps : les satellites sont en mouvement par rapport à l’observateur
; M⊕ = 5.97 × 10 24 kg étant la masse de la Terre, leur vitesse orbitale