Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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164 Solutions cosmologiques dans l’espace-temps de Minkowski de dimension 5, c’est-à-dire R 5 muni de la métrique lorentzienne ds 2 5 = −dv 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 + dw 2 . (7.11) Les coordonnées minkowskiennes (v, x, y, z, w) sont alors reliées aux coordonnées (ct, χ, θ, ϕ) sur l’hyperboloïde par v = κ −1/2 sinh( √ κ ct) (7.12) w = κ −1/2 cosh( √ κ ct) cos χ (7.13) x = κ −1/2 cosh( √ κ ct) sin χ cos θ (7.14) y = κ −1/2 cosh( √ κ ct) sin χ sin θ cos ϕ (7.15) z = κ −1/2 cosh( √ κ ct) sin χ sin θ sin ϕ. (7.16) 7.2.3 Espace-temps anti-de Sitter (AdS) 7.3 Solutions de Friedmann-Lemaître 7.3.1 Espaces-temps spatialement homogènes et isotropes métrique de Robertson-Walker 7.3.2 Équations de Friedmann
Annexe A Relativité et GPS Sommaire version 2007-2008 A.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A.2 Principe du système GPS et nécessité d’une description relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A.3 Traitement relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 A.1 Introduction Le système de positionnement GPS (Global Positioning System), son équivalent russe GLONASS (GLObal NAvigation Satellite System), ainsi que le projet européen GALILEO, sont des applications technologiques (les seules ?) de la relativité générale. Le niveau de précision de positionnement requis (∼ 5 m à la surface du globe) est en effet tel que la prise en compte des effets relativistes dans le champ gravitationnel de la Terre est indispensable. Nous présentons ici un traitement simplifié du système GPS, qui met l’accent sur les effets relativistes. A.2 Principe du système GPS et nécessité d’une description relativiste Le système GPS est basé sur une constellation de 24 satellites (appelés NAVSTAR) répartis sur 6 orbites circulaires de période 12 h (ce qui correspond à un rayon rsat = 26561 km = 4.16 R⊕, où R⊕ désigne le rayon de la Terre : R⊕ = 6378 km) (cf. Fig. A.1). Chaque satellite transporte une horloge atomique au césium et il émet un signal radio qui comprend la “date” d’émission et ses trois coordonnées spatiales (déduites des éphémérides liées à son orbite). Un observateur sur Terre qui reçoit les signaux d’au moins quatre
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