Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

(7.2) :
7.2 Solutions maximalement symétriques 163
Rαβ = R σ ασβ = κ( δ σ σ gαβ − δ
=4
σ β gασ) = 3κ gαβ, (7.4)
de sorte que le tenseur d’Einstein vaut [cf. Eq. (4.114)]
Gαβ = Rαβ − 1
2 R gαβ = 3κ gαβ − 1
2 12κ gαβ = −3κ gαβ. (7.5)
L’équation d’Einstein (7.1) s’écrit donc
(Λ − 3κ) g = 8πG
T . (7.6)
c4 On en déduit qu’un espace-temps maximalement symétrique vide (T = 0) a forcément une
constante cosmologique égale à 3κ. S’il n’est pas vide et que l’on suppose que le tenseur
énergie-impulsion est celui d’un fluide parfait, c’est-à-dire a la forme (4.120), alors (7.6)
implique
ρc 2 4 Λ − 3κ
+ p = 0 et p = c , (7.7)
8πG
soit
2 3κ − Λ
ρ = c
8πG
et p = −ρ c 2 . (7.8)
Une telle équation d’état est celle de l’énergie dite “du vide”.
Examinons à présent les différents types de solutions maximalement symétriques, en
supposant que le contenu en “matière” de l’espace-temps assure que (7.8) soit vérifiée,
c’est-à-dire que l’équation d’Einstein soit satisfaite. Comme toute l’information sur la
métrique est codée dans la constante κ, il n’y a que trois cas possibles :
• κ = 0 : d’après (7.2) le tenseur de Riemann est identiquement nul, autrement dit la
métrique g est plate : (E , g) est alors l’espace-temps de Minkowski ;
• κ > 0 : d’après (7.3) la courbure scalaire est positive : (E , g) est alors
l’espace-temps de de Sitter, que nous allons étudier au § 7.2.2 ;
• κ < 0 : d’après (7.3) la courbure scalaire est négative : (E , g) est alors
l’espace-temps anti-de Sitter, que nous allons étudier au § 7.2.3.
7.2.2 Espace-temps de de Sitter
L’espace-temps de de Sitter est l’espace-temps (E , g) maximalement symétrique de
courbure scalaire strictement positive R = 12κ > 0. Il a la topologie de R × S 3 , où S 3
est l’hypersphère de dimension 3. On peut ainsi le décrire par des coordonnées (x α ) =
(ct, χ, θ, ϕ) telles que t ∈ R, χ ∈ [0, π], θ ∈ [0, π] et ϕ ∈ [0, 2π[. Le tenseur métrique a
alors la forme suivante :
gαβ dx α dx β = −c 2 dt 2 + κ −1 cosh 2 ( √ κ ct) dχ 2 + sin 2 χ dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2 . (7.9)
On peut “visualiser” (E , g) comme l’hyperboloïde (de dimension 4) d’équation
− v 2 + x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = κ −1
(7.10)