Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

162 Solutions cosmologiques
7.2 Solutions maximalement symétriques
7.2.1 Espaces-temps maximalement symétriques
Un espace-temps (E , g) de dimension1 n est dit homogène ssi la métrique ne change
pas lorsqu’on passe d’un point à un autre. En termes techniques cela signifie qu’étant
donnés deux points quelconques M et N de la variété E , il existe une isométrie [c’està-dire
un application Φ : E → E bijective, différentiable et de réciproque différentiable
et telle que (le carré de) la distance g( −−→
P P ′ , −−→
P P ′ ) donnée par le tenseur métrique entre
deux points P et P ′ infiniment proches est égale à la distance entre Φ(P ) et Φ(P ′ )] qui
fait passer de M à N.
Par ailleurs, un espace-temps (E , g) est dit isotrope en un point P ∈ E ssi étant donnés
deux vecteurs quelconques en P : v ∈ TP (E ) et w ∈ TP (E ), il existe une isométrie qui
laisse P invariant et qui transforme v en un vecteur colinéaire à w.
Un espace-temps peut être homogène sans être isotrope en aucun de ses points. Par
exemple, il peut exister une direction privilégiée dans E qui est la même en tout point. Par
contre, si un espace-temps est homogène et isotrope en un point, alors il est isotrope en
tous ses points. On peut donc parler d’espace-temps homogène et isotrope, sans préciser
par rapport à quel point. Réciproquement, on peut montrer qu’un espace-temps isotrope
en tous ses points est nécessairement homogène.
Un espace-temps (E , g) homogène et isotrope est maximalement symétrique, au sens
où il possède le nombre maximal de symétries continues, ou, de manière équivalente, le
nombre maximal de champs de vecteurs de Killing linéairement indépendants (cf. § 3.2.1).
Si la dimension de E est n, ce nombre est n(n + 1)/2, c’est-à-dire 10 pour n = 4. On
retrouve ainsi la dimension du groupe de Poincaré qui est le groupe de symétrie de
l’espace-temps de Minkowski, ce dernier étant un exemple d’espace-temps maximalement
symétrique.
On peut montrer (cf. par exemple § 3.9 de [2]) que les espaces-temps maximalement
symétriques sont ceux pour lesquels le tenseur de Riemann est de la forme
R α βµν = κ δ α µ gβν − δ α
ν gβµ , (7.2)
où κ est une constante, qui est reliée au scalaire de courbure R [cf. Eq. (4.111)] par
κ =
R
n(n − 1)
. (7.3)
Il s’agit là d’une simplification extraordinaire, si l’on se souvient que dans le cas général, le
tenseur de Riemann a 20 composantes indépendantes pour n = 4 (cf. § 4.3.2). L’expression
(7.2) montre qu’il n’a plus qu’une seule composante ; de plus, elle est constante sur tout
E !
Plaçons-nous dans le cas n = 4 et formons l’équation d’Einstein pour un espace-temps
maximalement symétrique. Le tenseur de Ricci s’obtient en combinant les Eqs. (4.108) et
1 nous ne présupposons pas ici que n = 4, car nous aurons besoin du cas n = 3 par la suite