Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

16 Cadre géométrique
2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété
Courbes
Un concept géométrique élémentaire à la base de la physique est celui de vecteur.
Ce concept est généralement introduit dans le cadre de l’espace euclidien R 3 . Il est
immédiatement généralisable à l’espace R n (n ∈ N ∗ ). Sur une variété, on ne peut a priori
pas définir les vecteurs comme des quantités reliant deux points : en raison de la courbure,
le vecteur “sort” de la variété. En particulier l’addition de deux vecteurs issus de deux
points différents serait problématique. Par contre, une notion géométrique bien définie sur
une variété est celle de courbe. Nous allons l’utiliser pour définir les vecteurs comme des
vecteurs tangents à une courbe donnée. Mathématiquement, une courbe C sur une variété
E est entièrement définie par la donnée d’une application différentiable
P : R −→ E
λ ↦−→ P = P(λ) ∈ C .
(2.5)
Cette application est appelée paramétrage de la courbe C et λ est appelé paramètre de la
courbe.
Étant donné un système de coordonnées (x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ), la courbe est décrite par la
donnée de 4 fonctions X α : R → R, que nous supposerons différentiables et telles que
soit l’équation paramétrique de C .
Définition des vecteurs
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x 0 = X 0 (λ)
x 1 = X 1 (λ)
x 2 = X 2 (λ)
x 3 = X 3 (λ)
(2.6)
Pour motiver la définition d’un vecteur sur une variété, examinons le cas d’une courbe
C dans le plan euclidien R 2 (cf. Fig. 2.3). Soit
x = X(λ), y = Y (λ) (2.7)
l’équation paramétrique de C en coordonnées cartésiennes. Au sens usuel des vecteurs de
R 2 , le vecteur tangent à C en un point P = P(λ) et associé au paramétrage (2.7) est le
vecteur de composantes cartésiennes
v =
˙X(λ), Y ˙ (λ) , (2.8)
où l’on a noté ˙ X := dX/dλ et ˙ Y := dY /dλ. Considérons à présent un champ scalaire
différentiable défini sur le plan : f : R 2 → R. L’accroissement élémentaire de f le long de
la courbe C est donné par la formule
df| C = ∂f
∂x ˙ Xdλ + ∂f
∂y ˙ Y dλ, (2.9)