Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

158 Ondes gravitationnelles
Si M est la masse de la source, R son extension spatiale, la norme Q du moment
quadrupolaire est de l’ordre de Q ∼ sMR2 où s est un facteur d’asymétrie : s = 0 pour
un objet à symétrie sphérique. On peut alors écrire ...
Q∼ s ω3MR 2 , où ω est l’inverse du
temps caractéristique d’évolution de la source. La formule (6.139) donne ainsi
L ∼ G
c 5 s2 ω 6 M 2 R 4 . (6.141)
Le facteur numérique G/c 5 est extrêmement petit, son inverse valant c 5 /G = 3.6 × 10 52
W. C’est la raison pour laquelle les ondes gravitationnelles émises par une expérience en
laboratoire sont virtuellement indétectables : un cylindre d’acier d’un mètre de rayon, de
20 mètres de long, pesant 490 tonnes et tournant à la limite de rupture (ω = 28 rad s −1 )
perpendiculairement à son axe, fournit une luminosité L = 2 × 10 −29 W ! (Misner, Thorne
& Wheeler 1973, § 36.3). Cependant, lorsque l’on considère des sources astrophysiques
comme les astres compacts, la formule (6.141) peut conduire à des luminosités énormes.
Une façon de le voir est de suivre le raisonnement de Weber (1974), qui est parti de la
remarque suivante : “Ne serait-ce pas mieux si, à la place du minuscule facteur G/c 5 , on
avait l’énorme facteur c 5 /G = 3.6 × 10 52 W ?... Eh bien, réarrangeons la formule (6.141)
de manière à avoir c 5 /G comme préfacteur ! ” Le tour de passe-passe se réalise comme
suit : ré-exprimons la masse M de l’objet en fonction de son rayon de Schwarzschild RS
[cf. Eq. (3.10)] suivant M = c 2 RS/(2G). Par ailleurs, v étant une vitesse caractéristique
du mouvement de la source, on a ω ∼ v/R ∼ v/c × c/R. En reportant ces expressions de
M et ω dans (6.141), il vient
soit
L ∼ G v6
s2
c5 c6 L ∼ c5
G s2
c 6
R 6
RS
R
c 4 R 2 S
4G 2 R4 , (6.142)
2 v
c
6
. (6.143)
On peut ré-exprimer cette formule en faisant intervenir le paramètre de compacité Ξ ∼
RS/R introduit au Chap. 3 (cf. Eq. (3.10)) :
L ∼ c5
G s2 Ξ 2
v
6 c
. (6.144)
Ainsi, des objets pour lesquels s ∼ 1 (grand écart à la symétrie sphérique), Ξ ∼ 1 (astres
compacts) et v ∼ c (mouvement important) peuvent rayonner une puissance fantastique
sous forme d’ondes gravitationnelles : L ∼ c 5 /G = 3.6×10 52 W, soit 10 26 fois la luminosité
du Soleil dans le domaine électromagnétique ! Les conditions Ξ ∼ 1 et v ∼ c caractérisent
les astres compacts : rappelons en effet que, pour un trou noir Ξ = 1 (R = RS), pour une
étoile à neutrons Ξ ∼ 0.2 − 0.4 et que la vitesse radiale de chute libre d’une particule dans
un trou noir est v = c lorsque la particule traverse l’horizon des événements.