Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

6.5.2 Flux d’énergie
6.5 Génération d’ondes gravitationnelles 157
Les ondes gravitationnelles transportent de l’énergie et de l’impulsion ; nous admettrons
sans démonstration que le tenseur énergie-impulsion (effectif) correspondant est le
tenseur d’Isaacson :
Tαβ = 1
32πG 〈∂hTT
ij
∂xα ∂hTT ij
〉 , (6.135)
∂xβ où les crochets 〈· · ·〉 indiquent une moyenne sur plusieurs longueurs d’ondes. Cette expression
n’est valable que loin de la source, là où l’espace-temps peut être assimilé à un espace
plat. Le flux d’énergie F transporté par une onde gravitationnelle s’obtient en prenant la
composante Ttz du tenseur (6.135) (z étant la direction de propagation). On obtient ainsi
F = c3
16πG 〈˙ h 2 + + ˙ h 2 ×〉 , (6.136)
où h+ et h× sont les deux composantes indépendantes de h TT
ij . Pour une onde monochromatique
d’amplitude h et de fréquence f, la moyenne sur quelques longueurs d’ondes vaut
〈 ˙ h 2 +〉 = 〈 ˙ h 2 ×〉 = (2πf) 2 h 2 /2, si bien que
Numériquement :
F =
2
f h
F = 0.3
1 kHz 10−21 2 π c3
4G f 2 h 2 . (6.137)
W m −2 . (6.138)
Cette formule montre qu’une onde gravitationnelle d’amplitude aussi petite que 10 −21
transporte une quantité appréciable d’énergie. En considérant une onde gravitationnelle
comme une “déformation” de l’espace-temps, on peut ainsi dire, par analogie avec la
théorie de l’élasticité, que l’espace-temps est un milieu très rigide.
6.5.3 Luminosité gravitationnelle
En intégrant l’équation (6.135) sur une sphère entourant la source et en utilisant
la formule du quadrupôle (6.134), on obtient la luminosité gravitationnelle de la source
(énergie totale rayonnée sous forme d’ondes gravitationnelles par unité de temps) :
L = 1
5
G ...
〈
c5 ...
QijQ ij
〉 , (6.139)
où les crochets 〈· · ·〉 indiquent une moyenne sur plusieurs longueurs d’ondes. La formule
(6.139) est appelée formule du quadrupôle, tout comme la formule (6.134) pour hTT ij . Les
deux formules ont été obtenues par Einstein en 1918 [18]. Il est intéressant de la rapprocher
de la formule qui donne la puissance électromagnétique rayonnée par un dipôle électrique
Di oscillant :
Le.m. = 1 µ0
3 4π 〈 ¨ Di ¨ D i 〉. (6.140)