Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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156 Ondes gravitationnelles On reconnaît, au temps retardé prêt, l’intégrale du membre de droite de (6.115) pour (α, β) = (i, j). On peut donc conclure que ¯hij(t, x) = 2G c4r Ïij t − r c . (6.127) Pour obtenir la perturbation métrique dans la jauge TT, il suffit de prendre la partie transverse et sans trace de ce résultat. Cela se fait en introduisant l’opérateur de projection transverse Il vient h TT ij (t, x) = 2G c 4 r Plutôt que Iij, faisons apparaître sa partie sans trace : c’est-à-dire la quantité Qij(t) = source Pij = Pij(x) := δij − ninj. (6.128) P k i P l j − 1 kl PijP Ïij t − 2 r . (6.129) c Qij := Iij − 1 3 (δkl Ikl) δij, (6.130) ρ(t, x) x i x j − 1 3 x · x δij d 3 x . (6.131) Qij(t) est appelé moment quadrupolaire de masse de la source. C’est une quantité observationnellement plus accessible que Iij(t), car elle apparaît dans le développement multipolaire du potentiel gravitationnel newtonien de la source : Comme Φ(t, x) = − GM r + 3G Qij(t)n i n j 2r 3 + · · · (6.132) P k i P l j − 1 kl PijP Iij = P 2 k i P l j − 1 kl PijP Qij, (6.133) 2 on peut mettre l’Eq. (6.129) sous sa forme finale : h TT ij (t, x) = 2G c 4 r P k i P l j − 1 2 kl PijP ¨Qij t − r c . (6.134) Cette formule est appelée formule du quadrupôle. Elle relie le champ de rayonnement gravitationnel à la dérivée temporelle deuxième du moment quadrupolaire retardé de la source.
6.5.2 Flux d’énergie 6.5 Génération d’ondes gravitationnelles 157 Les ondes gravitationnelles transportent de l’énergie et de l’impulsion ; nous admettrons sans démonstration que le tenseur énergie-impulsion (effectif) correspondant est le tenseur d’Isaacson : Tαβ = 1 32πG 〈∂hTT ij ∂xα ∂hTT ij 〉 , (6.135) ∂xβ où les crochets 〈· · ·〉 indiquent une moyenne sur plusieurs longueurs d’ondes. Cette expression n’est valable que loin de la source, là où l’espace-temps peut être assimilé à un espace plat. Le flux d’énergie F transporté par une onde gravitationnelle s’obtient en prenant la composante Ttz du tenseur (6.135) (z étant la direction de propagation). On obtient ainsi F = c3 16πG 〈˙ h 2 + + ˙ h 2 ×〉 , (6.136) où h+ et h× sont les deux composantes indépendantes de h TT ij . Pour une onde monochromatique d’amplitude h et de fréquence f, la moyenne sur quelques longueurs d’ondes vaut 〈 ˙ h 2 +〉 = 〈 ˙ h 2 ×〉 = (2πf) 2 h 2 /2, si bien que Numériquement : F = 2 f h F = 0.3 1 kHz 10−21 2 π c3 4G f 2 h 2 . (6.137) W m −2 . (6.138) Cette formule montre qu’une onde gravitationnelle d’amplitude aussi petite que 10 −21 transporte une quantité appréciable d’énergie. En considérant une onde gravitationnelle comme une “déformation” de l’espace-temps, on peut ainsi dire, par analogie avec la théorie de l’élasticité, que l’espace-temps est un milieu très rigide. 6.5.3 Luminosité gravitationnelle En intégrant l’équation (6.135) sur une sphère entourant la source et en utilisant la formule du quadrupôle (6.134), on obtient la luminosité gravitationnelle de la source (énergie totale rayonnée sous forme d’ondes gravitationnelles par unité de temps) : L = 1 5 G ... 〈 c5 ... QijQ ij 〉 , (6.139) où les crochets 〈· · ·〉 indiquent une moyenne sur plusieurs longueurs d’ondes. La formule (6.139) est appelée formule du quadrupôle, tout comme la formule (6.134) pour hTT ij . Les deux formules ont été obtenues par Einstein en 1918 [18]. Il est intéressant de la rapprocher de la formule qui donne la puissance électromagnétique rayonnée par un dipôle électrique Di oscillant : Le.m. = 1 µ0 3 4π 〈 ¨ Di ¨ D i 〉. (6.140)
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