Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

et dérivons-la par rapport à t :
Or la composante α = k de (6.117) donne
6.5 Génération d’ondes gravitationnelles 155
− 1 ∂
c
2T00 ∂t2 + ∂2T0k ∂xk∂t − 1 ∂Tk0
c ∂t
= 0. (6.119)
∂Tkl
+ = 0. (6.120)
∂xl En utilisant T0k = Tk0, cette relation permet de mettre (6.119) sous la forme
− 1
c
∂2T00 ∂
+
∂t2 ∂xk
c ∂Tkl
∂x l
Multiplions cette équation par xixj et intégrons dans tout l’espace :
1
c2 2 ∂ T00
∂t2 xix j d 3x =
2 ∂ Tkl
∂xk∂x l xix j d 3x
= 0. (6.121)
∂
=
∂xk
∂Tkl
∂xl xix j
− ∂Tkl
∂xl i
δ kx j + x i δ j
k
d 3x
∂Til
= −
∂xl xj + ∂Tjl
xi d
∂xl 3x
∂
= −
∂xl
Tilx j + Tjlx i − Tilδ j
l − Tjlδ i
l d 3x 1
c2 2 ∂ T00
∂t2 xix j d 3
x = 2 Tij d 3x, (6.122)
où (i) on a utilisé le théorème de Gauss-Ostrogradsky pour passer de la deuxième ligne à
la troisième et de la quatrième à la cinquième, et (ii) on a annulé les intégrales de surface
car la source est à support compact. Par ailleurs
1
c 2
∂ 2 T00
∂t 2 xi x j d 3 x = 1
c 2
d 2
dt 2
T00x i x j d 3 x. (6.123)
Dans le cas des sources faiblement relativistes que nous considérons, T00 = T ( ∂0, ∂0) =
ɛ ρc2 où ρ est la densité de masse [cf. Eq. (4.126) avec Γ 1]. Il vient alors
1
c2 2 ∂ T00
∂t2 xix j d 3x = d2
dt2 Iij(t) =: Ïij(t), (6.124)
où
Iij(t) :=
source
est le tenseur moment d’inertie de la source. Ainsi l’Eq. (6.122) s’écrit
Ïij(t) = 2
ρ(t, x)x i x j d 3 x (6.125)
Tij(t, x ′ ) d 3 x ′ . (6.126)