Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

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154 Ondes gravitationnelles Puisque les coordonnées (ct, x, y, z) de la jauge de Lorenz sont de type cartésien, chaque composante de l’équation (6.110) est une équation d’onde scalaire ordinaire. Sa solution générale est donnée par la formule classique du potentiel retardé : ¯hαβ(t, x) = 4G c 4 Tαβ t − 1 c |x − x ′ |, x ′ |x − x ′ | où l’on a introduit les notations x = (x 1 , x 2 , x 3 ) et |x| = δijx i x j . Posons À grande distance de la source, r ≫ | x ′ |, si bien que d 3 x ′ , (6.111) r := |x| = δijxixj et n := x . (6.112) r |x − x ′ | = ⎡ 1/2 x ′ x ′ x ′ r n − = r n − · n − = r ⎣1 − 2 r r r n · x ′ r + x ′ ⎤ 2 1/2 ⎦ r r 1 − n · x ′ . r (6.113) On peut alors écrire (6.111) comme ¯hαβ(t, x) = 4G c4 r Tαβ t − r c + n · x ′ , x c ′ d 3 x ′ . (6.114) Supposons à présent que la source est lentement variable, c’est-à-dire que Tαβ(t, x ′ ) évolue peu pendant le temps mis par la lumière pour traverser la source. Autrement dit ω| x ′ |/c ≪ 1 pour toute fréquence ω caractéristique des mouvements au sein de la source. On peut alors négliger le terme en n · x ′ /c dans (6.114), qui devient : ¯hαβ(t, x) = 4G c4 Tαβ r t − r c , x ′ d 3 x ′ . (6.115) Pour aller plus loin, utilisons l’équation de conservation de l’énergie-impulsion (4.135) : A l’ordre linéaire où nous nous plaçons, cette formule s’écrit Considérons la composante α = 0 : η ∇ µ Tαµ = 0. (6.116) µν ∂Tαµ − 1 ∂T00 c ∂t = 0. (6.117) ∂xν ∂T0i + = 0 (6.118) ∂xi
et dérivons-la par rapport à t : Or la composante α = k de (6.117) donne 6.5 Génération d’ondes gravitationnelles 155 − 1 ∂ c 2T00 ∂t2 + ∂2T0k ∂xk∂t − 1 ∂Tk0 c ∂t = 0. (6.119) ∂Tkl + = 0. (6.120) ∂xl En utilisant T0k = Tk0, cette relation permet de mettre (6.119) sous la forme − 1 c ∂2T00 ∂ + ∂t2 ∂xk c ∂Tkl ∂x l Multiplions cette équation par xixj et intégrons dans tout l’espace : 1 c2 2 ∂ T00 ∂t2 xix j d 3x = 2 ∂ Tkl ∂xk∂x l xix j d 3x = 0. (6.121) ∂ = ∂xk ∂Tkl ∂xl xix j − ∂Tkl ∂xl i δ kx j + x i δ j k d 3x ∂Til = − ∂xl xj + ∂Tjl xi d ∂xl 3x ∂ = − ∂xl Tilx j + Tjlx i − Tilδ j l − Tjlδ i l d 3x 1 c2 2 ∂ T00 ∂t2 xix j d 3 x = 2 Tij d 3x, (6.122) où (i) on a utilisé le théorème de Gauss-Ostrogradsky pour passer de la deuxième ligne à la troisième et de la quatrième à la cinquième, et (ii) on a annulé les intégrales de surface car la source est à support compact. Par ailleurs 1 c 2 ∂ 2 T00 ∂t 2 xi x j d 3 x = 1 c 2 d 2 dt 2 T00x i x j d 3 x. (6.123) Dans le cas des sources faiblement relativistes que nous considérons, T00 = T ( ∂0, ∂0) = ɛ ρc2 où ρ est la densité de masse [cf. Eq. (4.126) avec Γ 1]. Il vient alors 1 c2 2 ∂ T00 ∂t2 xix j d 3x = d2 dt2 Iij(t) =: Ïij(t), (6.124) où Iij(t) := source est le tenseur moment d’inertie de la source. Ainsi l’Eq. (6.122) s’écrit Ïij(t) = 2 ρ(t, x)x i x j d 3 x (6.125) Tij(t, x ′ ) d 3 x ′ . (6.126)
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