Relativité Générale - LUTH - Observatoire de Paris

152 Ondes gravitationnelles
Remarque : Que la déviation à la métrique de Minkowski commence au second ordre en
ˆx i est nécessaire pour tenir compte de l’onde gravitationnelle : si elle commençait à
un ordre supérieur, le tenseur de Riemann calculé à partir de (6.101) serait nul le
long de la ligne d’univers de O. Cela correspondrait à un espace-temps exactement
plat et donc sans onde gravitationnelle.
Il est facile de voir en comparant (6.79) et (6.101) que le passage des coordonnées TT
(x α ) aux coordonnées de Fermi (ˆx i ) s’effectue suivant la transformation suivante :
T T où h
ˆx 0 = x 0
ij (t, 0) désigne la valeur du champ h
(6.102)
ˆx i = x i + 1 T
hTij (t, 0)x
2 j , (6.103)
T T
ij en (xα ) = (ct, 0, 0, 0), c’est-à-dire le long de
la ligne d’univers de O. On effectue en effet dans les calculs qui suivent l’hypothèse d’une
longueur d’onde grande devant la taille du système de particules étudié :
avec
T T ∂h
ij
∂x
k xk
T T
h
T T
ij (t, x k ) hij (t, 0) +
∼ T T
ωhij x k
∼ T
2πhT ij
x k
λ
∂hT T
ij
∂x k xk + · · · , (6.104)
≪
T T
h
ij si
|x k |
λ
≪ 1. (6.105)
Exercice : justifier le changement de variable (6.102)-(6.103) en appliquant la loi de transformation
des composantes d’un tenseur
∂ˆx
gαβ = ˆgµν
µ
∂xα ∂ˆx ν
∂xβ aux composantes ˆgµν données par (6.101) (ˆgµν = ηµν) et en comparant le résultat avec
(6.79).
Considérons une particule au voisinage de O et désignons par (x i 0) ses coordonnées
TT spatiales. Puisque ces dernières restent constantes lors du passage de l’onde gravitationnelle,
l’équation du mouvement de la particule dans le référentiel de O basé sur les
coordonnées de Fermi est donnée en reportant ces constantes dans (6.103) :
ˆx i (t) = x i 0 + 1 T
hTij (t, 0)x
2 j
0 . (6.106)
Appliquons cette formule à une onde plane monochromatique se propageant dans la di-
T T
rection z : hij est alors donné par (6.76) et on obtient
ˆx(t) = x0 + 1
2 (a+x0 + a×y0) e iωt
(6.107)
ˆy(t) = y0 + 1
2 (a×x0 − a+y0) e iωt
(6.108)
ˆz(t) = z0. (6.109)